(382)_INTRODUÇÃO À QUÍMICA QUÂNTICA [Mecânica Quantica] (por André Luiz)



Fonte: http://www.dominiopublico.gov.br/download/texto/ea000166.pdf

Universidade de São Paulo Instituto de Física de São Carlos Introdução a Química Quântica τ τ τ H d d H d E ∫ ∫ ∫ = Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ = * * * André Luis Bonfim Bathista e Silva IFSC/USP 2003 Autor: André Luis Bonfim Bathista e Silva – IFSC/USP 2003 Cap. 1: Operadores em Química Quântica Cap. 2: Equação de Schrödinger e Suas Aplicações Cap. 3: Método de Hückel – Método Semi-Empírico Cap. 4: Método Variacional Cap. 5: Teoria do Campo Autoconsistente (SCF) Cap. 6: Método de Hartree-Fock-Roothaan Cap. 7: Teoria da Perturbação de Rayleigh-Schrödinger. 1 Edição André Luis Bonfim Bathista e Silva concluiu o Mestrado em Ciência e Engenharia de Materiais no Instituto de Física de São Carlos IFSC – USP em 2004, graduou em Licenciatura Plena Em Física pela Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT) em 2001, conclui o curso técnico em Química Industrial na Escola Técnica Federal de Mato Grosso (ETF-MT) em 2000. Atualmente está cursando Doutorado em Ciência e Engenharia de Materiais no Grupo de LEAR-IFSC-USP e o curso Técnico em Eletrônica pela Escola Técnica Estadual – Paulino Botelho. Publicou. Publicou 5 artigos em periódicos especializados e 52 trabalhos em anais de eventos, sendo 6 em eventos Internacionais. Participou do desenvolvimento de 2 produtos tecnológicos. Recebeu 2 prêmio na Iniciação Científica da Associação de Usuários de Ressonância Magnética Nuclear (AUREMN) e uma Menção Honrosa da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ). Atua na área de Física, com ênfase em Ressonância Magnética Nuclear. Em suas atividades profissionais interagiu com 28 colaboradores em co-autorias de trabalhos científicos. Capítulo 1: Operadores em Química Quântica 1.1 Introdução 1.2 Conceitos Preliminares 1.3 O Formalismo Matemático da Mecânica Quântica 1.4 Operadores 1.5 Comutadores 1.6 Observáveis 1.7 Valor Esperado 1.8 Fluxo de Probabilidade 1.9 Postulados da Mecânica Quântica da Função de Onda 1.10 Bibliografia: Capítulo 2: Equação de Schrödinger 2.1 Introdução 2.2 Construção da Equação de Schrödinger 2.3 Números Quânticos 2.4 Função de Onda na Concepção de Max Born 2.5 Valor Esperado da Função de Onda 2.6 Aplicação da Equação de Schrödinger 2.6.1 Poço de Potencial não relativístico 2.7 Bibliografia: Capítulo 3: Método de Hückel. 3.1 Método Semi-Empírico 3.2 Elaboração 3.3 Considerações do Método de Hückel 3.4 Aplicação do Método de Hückel no Etileno 3.5 Aplicação do Método de Hückel no Butadieno 3.6 Aplicação do Método de Hückel para o Ciclobutadieno 3.7 Bibliografia: Capítulo 4: Método Variacional. 4.1 Introdução 4.2 Extensão do método Variacional 4.3 Função Variacional Linear 4.4 Aplicação do Método Variacional 4.5 Método Variacional para o Átomo de Hidrogênio 4.6 Método Variacional para o Átomo de Hélio 4.7 Método Variacional para Sistema de dois Spins 4.8 Referências: Capítulo 5: Teoria do Campo Autoconsistente (SCF) 5.1 Introdução 5.2 Valor médio da Energia 5.3 O Valor médio de H1 5.4 O Valor médio de H2 5.5 Cálculo da Energia Média 5.6 As Equações de Hatree-Fock. 5.7 Referência: Capítulo 6: Método de Hartree-Fock-Roothaan. 6.1 Introdução Capítulo 7: Teoria da Perturbação 7.1 Introdução 7.2 Correção de ordem um para a energia 7.3 Correção de ordem um para a função de onda 7.4 Tratamento de um sistema de spins pela Teoria da Perturbação 7.5 Referência: Capítulo 1: Operadores em Química Quântica 1.1 Introdução A Mecânica Quântica foi construída na década de 20 para lidar com o átomo, os físicos consideravam-na como um instrumento provisório destinado ao fracasso fora dos domínios do átomo, entretanto a mecânica quântica prosperou e ultrapassou os mais fantásticos sonhos de seus inventores. Atualmente, devido a aceitação dos Postulados Quânticos e suas extensivas aplicações em Centros Científicos, vem proporcionando maior divulgação de experimento clássicos da Mecânica Quântica, bem como seus inventores. A internet, onde é um meio de informação de mais alto padrão, nos favorece diversas fontes de trabalhos diretos ou correlacionados à Mecânica Quântica, sendo estes: revistas, fascículos e até mesmo jornais científicos. 1.2 Conceitos Preliminares Para explicar a mecânica dos átomos e dos sistemas nucleares, foram desenvolvidas, a partir de 1900, diversas teorias. Estas teorias foram se enquadrando a uma denominação comum: “Mecânica Quântica”(MQ). Assim, MQ é um conjunto de teoria dos sistemas atômicos e nucleares. Este conjunto não é unitário, mas sim uma sucessão de diversas teorias, umas complementares das outras. Estas teorias surgiram e desenvolveram-se da Física Clássica, particularmente da mecânica newtoniana e da teoria eletromagnética de Maxwell. Demonstrando-se que os conceitos clássico e eletromagnético eram suficientes para explicação do mundo macroscópico, mas, incapazes para uma explicação adequada e coerente do mundo microscópico, i.e., atômiconuclear e também molecular, nasceram à chamada “Antiga teoria dos quanta” ou Mecânica Quântica Antiga. Esta mecânica compreende as teorias de Planck (1900), Einstein (1905), Bohr (1913) e De Broglie (1924). A antiga MQ embora explicasse muitos fenômenos até então incompreendidos, falhava em sua base lógica para outros fenômenos. E assim Heisenberg (1925), desenvolveu a “Mecânica das Matrizes”, que não implica em nenhum modelo atômico, pois é um edifício puramente matemático. Quase simultaneamente, Schröndiger (1926) baseando-se nas idéias de De Broglie, desenvolveu a “Mecânica ondulatória”. Esta mecânica tem um aspecto mais físico, embora algo impreciso. Esta imprecisão foi desaparecendo com a aplicação das teorias de Pauli (1924) e Dirac (1926). As teorias de Heisenberg até Dirac, são conhecidas como “Mecânica Quântica Moderna”. Esquematicamente, temos: MQ MQA MQM teoria dos quantas de Planck teoria atômica de Bohr dualismo de De Broglie mecânica das matrizes de Hiesenberg mecânica ondulatória de Schöndiger teoria do Spin de Pauli teoria da energia positiva e negativa de Dirac Juntamente com estes físicos, representantes da MQ, figura outro grande número de cientista que, experimentalmente, deram confirmação a cada um destas teorias, assim como aplicaram teoricamente a muitos fenômenos Físicos-Químicos. Primeiramente estaremos considerando a visão matemática, que a mecânica quântica possui com uma linguagem acessível para estudantes de ciências e assim uma breve discussão da MQA (Planck→ de Broglie) e MQM (Pauli→ Dirac). tratando historicamente os fatos ocorridos e descrevendo alguns passos tomados pelos pesquisadores da MQ, explanando o formalismo matemático. 1.3 O Formalismo Matemático da Mecânica Quântica Na mecânica quântica as formas de se estabelecer relações numéricas e representação física de eventos são de modelos não convencionais como o de costumeiro da física e química. Às vezes tendo tratamento até filosófico de problemas. 1.4 Operadores Em muitos processos matemáticos um elemento tem que se submeter a um conjunto de operações quase sempre complicadas, mas que se repetem muitas vezes, a fim de aplicar a outros elementos diferentes para correlacioná-los. O conjunto de operações e transformações métricas são representadas por símbolos (Â, ∇2 , , Ψ) que se denominam operadores de transformação. Este conjunto de operações de transformação pode ser representado também por uma matriz, a qual tem propriedades intrínsecas da teoria de matrizes. Veja abaixo a representação de operadores e matrizes respectivamente. f Ahˆ = [1]           = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 ˆ a a a a a a a a a A [2] Estes operadores são denotados usando letras com acento circunflexo, como por exemplo Ô. Existe em princípio, um operador para cada informação que se deseja sobre o sistema, sendo os mais importantes os operadores que fornecem a energia, chamados de operadores Hamiltonianos que são denotados pelo símbolo H. Os operadores, por serem ordens ou instruções matemáticas, devem ser aplicadas pela direita nas funções desejadas por exemplo a função de onda Ψ ou usando a chamada representação de Dirac Ψ . Se Ô = d/dx, ou seja a ordem matemática é “derive com relação a x”, e Ψ = f(x),podemos ver claramente que Ô Ψ (df(x)/dx) não é o mesmo que Ψ Ô , ou f(x)d/dx (4). Como em alguns casos é necessário trabalhar com combinações lineares de funções de onda, os operadores também devem ser lineares, i.e.: ( ) 1 2 1 2 Oˆ Ψ + Ψ = Oˆ Ψ + Oˆ Ψ [3] Quando aplicamos o operador na função de onda pode acontecer dois eventos. No caso mais simples a operação sobre Ψ fornece a própria função Ψ multiplicada por uma constante a, ou seja: Oˆ Ψ = a Ψ [4] Neste caso a função de onda Ψ é dita ser autofunção do operador Ô com autovalor a. O autovalor obtido corresponde à propriedade que se deseja medir, de forma que, quando se fizer uma medição desta propriedade em um conjunto de sistemas idênticos, sempre será obtido o mesmo valor a. Mas é óbvio que as medições realizadas usando os operadores devem fornecer valores reais e não números complexos. Apresentando esta condição o operador é dito Hermitiano, o que matematicamente corresponde a expressão: ( ) * ˆ ˆ Ψi O Ψj = Ψ j O Ψi [5] A equação [5] garante que se Oˆ Ψ = a Ψ e que * * * Oˆ Ψ = a Ψ , então a = a* , o que só acontece se a for um número real, ou seja, se não contiver o número i na sua expressão. O segundo tipo de resultado que pode ser esperado quando se aplica um operador em uma função de onda é que a função de onda seja alterada pelo operador, como mostrado na equação 6: 1 2 Oˆ Ψ = b Ψ [6] Agora a função não é autofunção do operador, e o valor b corresponde a uma única medição da probabilidade desejada em um só sistema dentro de um universo de sistemas idênticos. Neste caso , cada vez que se fizer a medição experimental da propriedade seria obtida uma resposta diferente, sendo portanto necessário calcular o valor médio das medições, também chamado de valor esperado, , para ter um resultado confiável da medição. O valor médio é calculado exatamente como se calculam os valores médios em estatística: Ψ Ψ Ψ Ψ = O b ˆ [7] O principal problema agora é definir matematicamente os operadores e as funções de onda. Os operadores são obtidos através dos comutadores dos operadores. Se tivermos uma função de onda descrita por ( ) 2 xp Et h i x Ae − Ψ = π [8] que pode ser aplicada a descrever qualquer partícula de massa m e velocidade Vx que apresente comportamento ondulatório, sendo portanto uma equação geral e não só referente ao fóton. Agora utilizando-se dum operador para derivá-la em relação à x, e considerando que a energia E e o momento Px da partícula associada à onda são constantes, temos: = Ψ ∂ ∂Ψ h ip x π x 2 [9] rearranjando temos: = Ψ ∂ ∂Ψ − x p x ih 2π [10] analisando a equação [10] vemos que a função de onda Ψ é uma autofunção do operador x ih ∂ ∂ − 2π com autovalor px , ou seja, que o operador extrai o valor de momento da função de onda x ih ∂ ∂ − 2π . Isto significa que, para obter operadores podemos escrever a expressão clássica da quantidade que nos interessa, e substituir os termos referentes a componente em x do momento, px, por x ih ∂ ∂ − 2π . Por analogia, para as componentes em y e z a substituição deve ser por y ih ∂ ∂ − 2π e z ih ∂ ∂ − 2π respectivamente. Já onde existem coordenadas (x,y,z) ou tempo (t) não é necessário fazer nenhuma modificação para converter a expressão em um operador. Esta metodologia pode ser expressa em forma de tabela. Veja Tabela 1 Tabela 1: substituições para a construção de operadores. Termo na expressão clássica Termo no operador Símbolo do operador X X Xˆ Y Y Yˆ Z Z Zˆ Px x ih ∂ ∂ − 2π px ˆ Py y ih ∂ ∂ − 2π py ˆ Pz z ih ∂ ∂ − 2π z pˆ T t t ˆ Outros exemplos que expressa estes operadores pode serem vistos nas Tabelas 2 e 3 Tabela 2: Exemplos do operador Hamiltoniano para o movimento de uma partícula de massa m em diferentes campos de força definidos pela função (operador) potencial V. Operador (a) Partícula livre V=0 x 2 2 2 2 ˆ dx d m H = = − (b) barreira de potencial V=V0 x 0 a 2 2 2 2 ˆ dx d m H = = − (x<0; x>0) 0 2 2 2 2 ˆ V dx d m H = − + = (0 = − ∇ − + i i j ij n j j n i r e r Ze m H 2 1 2 1 2 2 2 ˆ = (c) moléculas ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = > > = − ∇ − ∇ − + + i i j ij n i i i i n i r Z Z e r e r Z e m m H α α β αβ α α β α α α α 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 ˆ = = 1.5 Comutadores Em 1926, Born, Heisenberg e Jordan apresentaram na Zeitschrift für Physik a mecânica quântica, desenvolvida por Born em 1924, e Heisenberg, em 1925, sob o ponto de vista matricial. Nesse trabalho, eles apresentaram as relações de comutações para o momento angular L G para um sistema de muitas partículas: [ ] [ ] [ ] . 2 , , 2 , , 2 , y z x z x y x y z L i h L L L i h L L L i h L L π π π = = = [11] Hoje em alguns cursos de MQ, podemos ver que esses comutadores podem ser visto da forma apresentada acima. Mas qual será a idéia de comutação ?, comutar significa ‘Realizar diversas funções’. Imaginemos uma situação na qual temos dois operadores Hermitianos Ô e Ê que comutam entre si, ou seja ÔÊ – ÊÔ = 0 (o comutador também é representado como [Ô,Ê] = 0). Suponhamos ainda que existe um conjunto de funções de onda Ψi que são autofunções do operador Ô, com autovalores diferentes entre ai, i.e., sem degenerescência. O Ψi = ai Ψi ˆ neste caso qual seria a relação do operador Ê com este conjunto de funções?. Se operarmos pela esquerda com Ê teremos que ( ) ÊO Ψi = Ê ai Ψi = ai Ê Ψi ( ) ˆ [12] e pela condição de comutação: ( ) ÊÔ = ÔÊ → ÊÔ Ψi = Ô Ê Ψi [13] de (12) e (13) temos que ( ( ) Ô Ê Ψi = ai Ê Ψi [14] A equação [14] nos mostra explicitamente que Ê Ψi é uma autofunção do operador Ô, com o autovalor ai. Como Ψi é a única função com autovalor ai , devido ‘a não degenerescência dos sistema, a única forma da equação [14] ser verdadeira é quanto a função Ê Ψi seja um múltiplo de Ψi , i. e., Ê Ψi = di Ψi [15] Em outras palavras, a função Ψi também é autofunção do operador Ê. Este resultado na forma de teoria seria: ‘Se dois operadores Hermitianos Ô e Ê comutam, então existe um conjunto de funções que são autofunções dos dois operadores’. Este teorema é extremamente importante pois mostra que as únicas propriedades de um sistema que podemos medir simultaneamente e com precisão são aquelas para as quais a função de onda representando o estado do sistema é a autofunção dos seus respectivos operadores, ou seja, para medir precisa e simultaneamente duas ou mais propriedades de um sistema, seus Degenerescência: significa os mesmos autovalores de energia. respectivos operadores devem comutar. De fato, este resultado é uma forma de expressão do Princípio de Incerteza de Heisenberg, pois indica que só é possível conhecer simultaneamente com precisão as propriedades de um sistema cujos operadores comutam. Claramente, de acordo com a formulação mais conhecida deste Princípio, os operadores referentes à posição e ao momento de um elétron em um átomo não comutam. 1.6 Observáveis As propriedades (E, P, Xi) que formam um observável têm duas características importantes: 1) Podem excluir-se mutuamente, ou 2) Constituem um conjunto completo, i.e., incluem entre si todos os possíveis resultados da medição do observável (E, P, Xi). Em MQ, pode-se distinguir dois tipos importantes de relações entre observáveis. Analisemos dois observáveis, q e r são compatíveis se as propriedades (E, P, Xi) de todos os pares (qi, rj) – qi representa qualquer propriedade do observável q, rj qualquer propriedade de r – forem compatíveis ou de mútua exclusão. Sendo o último caso, o par de propriedades que não correspondem a qualquer situação fisicamente real ou previsível. No entanto, para que dois observáveis q e s sejam incompatíveis basta que, entre todos os pares de propriedades (qi, sj) exista um que seja incompatível. Um exemplo de incompatibilidade é o momento linear (P) e a posição (xi). A energia de uma partícula livre (energia cinética) e a sua quantidade de movimento são também observáveis compatíveis. Neste caso, os pares de propriedades formados por uma propriedade de cada um destes observáveis ou são compatíveis ou excluem mutuamente; a exclusão múua aplica-se a situações fisicamente absurdas, por exemplo quando, uma das prorpiedades for nula e a outra diferente de zero porque a energia cinética e a quantidade de movimento estão relacionadas entre si através de uma dependência funcional, K = p 2 /(2m). 1.7 Valor Esperado Se considerarmos, uma partícula e onda associada, a função Ψ(r,t) e se essa função não se anula num intervalo entre r e r + dr, na medida de sua posição há uma probabilidade finita dessa partícula ser encontrada. Não podemos, atribuir a coordenada um valor bem definido, no entanto, é possível especificarmos uma posição média da partícula. Imaginemos a medida da posição da partícula no instante t, a probabilidade de encontrá-la entre r e r + dr é dada pela equação. ( , ) ( , ) ( , ) r t r t Pr t ψ ψ ∗ = [16] onde P(r,t) é a probabilidade de encontramos a partícula. Repetindo essa experiência a uma certa freqüência no mesmo instante e registrando os valores de P(r,t), podemos usar a média dos valores observados para caracterizar a posição da partícula no instante t. Este valor é representado por , valor esperado da coordenada r. Veja abaixo como podemos demonstrar matematicamente este cálculo. ∫ +∞ −∞ < r >= rP dr (r,t) [17] como: ( , ) ( , ) ( , ) r t r t Pr t ψ ψ ∗ = , substituímos [16] em [ 17] temos que: ∫ +∞ −∞ ∗ < r >= r dr r t r t ( , ) ψ ( , )ψ [18] 1.8 Fluxo de Probabilidade A probabilidade de encontrar uma partícula a uma certa posição x e num tempo t é dado por ( , ) ( , ) ( , ) r t r t Pr t ψ ψ ∗ = Sendo o fluxo qualquer grandeza que varia o tempo. ( , ) [ ( , ) ] ( , ) x t x t t x t t P ∗ ∂ ∂ = ∂ ∂ ψ ψ [19] ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x t t x t t x t t P x t x t ∂ ∂ ∗ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∗ ψ ψ ψ ψ [20] como: t V i m x x x t ∂ ∂ + = ∂ ∂ − ψ ψ = = 2 ( ) ( , ) 2 2 2 consideramos que ela esteja livre de V(x). Parte real: m x t i ∂ ∂ = ∂ ∂ ψ ψ 2 2 2 = [21] Parte imaginária: m x t i ∂ ∂ = ∂ ∂ ∗ ∗ ψ ψ 2 2 2 = [22] Substituindo [21] e [22] em [20]         ∂ ∂ + − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∗ 2 2 2 2 ( , ) 2 ( , ) 2 2 ( , ) m x i m x i x t t P x t x t ψ ψ ψ ψ = =               ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∗ ∗ x mi x x x t t P x t x t ψ ψ ψ ψ ( , ) ( , ) 2 ( , ) =       ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∗ ∗ ψ ψ ψ ψ mi x x S x t 2 ( , ) = [23] Sendo S o fluxo de probabilidade ( , ) (x,t) x S x t t P ∂ ∂ = − ∂ ∂ ou ( , ) ( , ) = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ x t x S x t t P [24] Sendo esta a equação da continuidade. 1.9 Postulados da Mecânica Quântica da Função de Onda I) A todo sistema corresponde uma função de onda Ψ (x,t). II) A seguinte correspondência existe entre as variáveis dinâmicas e os seguintes: Variáveis Operadores x, y, z, t x, y, z, t F(x,t) F(x,t) Px, Py, ou Pz i z ou i x i y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ = = , E i ∂t ∂ − = III) Ψ (x,t) (onde x representa x, y, z) e suas derivadas primeiras, devem ser finitas e unívocas. IV) Ψ (x,t) deve ser normalizada, isto é. dv dxdydz dv x t x t = Ψ Ψ = ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ ( , ) ( , ) 1 * ou simplesmente quando tem-se uma função = 1, a probabilidade é 100% de encontrar a particula numa região, isso significa que esta função está normalizada. 1 * Ψ Ψ = ∫ +∞ −∞ dv ou mais simplesmente < Ψ Ψ >= 1 V) A cada observável corresponde um operador Â. O valor médio <Â> ou valor esperado deste operador e definido como. ∫∫∫ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ < A >= Ψ AΨdv ˆ ˆ * < A >= ∫Ψ AΨdv ˆ * ou < A >=< Ψ A Ψ > ˆ * porém, se Ψ não for normalizada, então é definido como < Ψ Ψ > < Ψ Ψ > < >= A A * 1.10 Bibliografia: (1) Coelho, J. V. Mecânica Quântica (2000), In: 100 Anos de Mecânica Quântica, Departamento de Física, UFMT. (2) Rey, A. B. Mecânica Quântica e Ondulatória, In: Fisica/Química Modernas. V. 3, SP, Ed. Fortaleza, 1970 (3) Bathista, A. L. B. S., Nogueira, J. S. Uma Breve Discussão da Mecânica Quântica ,Cuiabá, UFMT. 2001. (4) Almeida, W. B., Santos, Química Nova, (5) Bassalo, J. M. F. Nascimentos da Física (1901-1950), Belém: EDUFPA, 2000. 503 p. (6) Teixeira Dias, J. J. C. Química Quântica fundamentos e métodos. 1982. Ed. Fundação Calouste gulbenkian. 448 p. (7) Millomen, W. C. C. Notas de Aula, 2001. Departamento de Física – Universidade Federal de Mato Grosso. (8) Eisberg, R. Resnick, R. Física Quântica, Ed. Campus, Rio de Janeiro, 1979. 15ª Edição. (9) Bathista, A. L. B. S., Nogueira, J. S. Da Physis à Física, O Livre Contexto Sobre a essência da matéria: O Átomo. IX Encontro de Iniciação Científica, Cuiabá, UFMT. 2001. (10) Born, M., Física Atômica, 1962, 4ª Edição. Ed: Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa. (11) Coelho, J. V. Mecânica Quântica, Cuiabá: EdUFMT, 215 p.1993. (12) Millomen, W. C. Born e a Teoria Quântica (2000), In: 100 anos de Mecânica Quântica, Departamento de Física, UFMT (17) De Broglie, L. Recherches sur la téorie des quanta. 1963, Paris: Masson et Cie editeurs. 128p. Réédition du text de 1924 (18) Landau, L. Lifshitz, E. Mecânica Quântica, Teoria não relativista, 1985. Mir, Moscou. Vol.1. Capítulo 2: Equação de Schrödinger. 2.1 Introdução Em 1926, o físico austríaco Erwin Schrödinger (1887-1961) publicou quatro trabalhos nos Annales de Physique Leipzig nos quais desenvolveu a sua famosa Mecânica Quântica Ondulatória, cujo resultado principal é a equação para as órbitas estacionárias dos elétrons atômicos, a igualmente famosa equação de Schrödinger: ( ) ( ) [ ] ( ) 0 2 , , , , 2 , , 2 ∇ Ψx y z + E −Vx y z Ψx y z = m = [1] Em relação ao trabalho de Bohr, o trabalho de Schrödinger foi bem mais completo. Uma vez que prevê também o seguinte: • As autofunções são correspondentes a cada autovalor. • Prevê o cálculo da probabilidade de um determinado estado. • Prevê o cálculo da probabilidade de transição de um estado para outro. • Calcula os momentos angulares orbitais. A equação de Schrödinger nada mais é que uma equação diferencial de segunda ordem,a qual podemos aplicar para um sistema como o átomo de 1 H e calcularmos os seus níveis de energias correspondentes. Historicamente foi o primeiro sistema que Schrödinger tratou, onde os autovalores de energia são os mesmos que previstos por Bohr. 2.2 Construção da Equação de Schrödinger Primeiramente temos que resolver um problema de dois corpos. Neste caso, podemos reduzir o sistema de dois corpos a um sistema de um corpo, considerando a massa reduzida do sistema: 1 2 1 2 m m m m + µ = [2] Este é o termo que é introduzido na equação Schrödinger e podemos adquiri-lo através do cálculo do centro de massa e para acharmos o centro de massa temos que fazer a seguinte igualdade m1r1=m2r2 e se variarmos r logo teremos o centro de massa. Considerando m2>>m1 1 1 2 2 m r = m r [3] 1 2 r = r + r [4] 1 2 r = r − r ; 2 1 r = r − r [4.1] Substituindo [4.1] em [3] obtemos, r m m m r 2 1 2 1 + = e r m m m r 1 2 1 2 + = [5] Como o próton e o elétron estão translacionando e girando com velocidades próprias. Podemos obter a expressão da energia cinética total do sistema e a velocidade angular. 2 2 2 2 2 2 1 1 m v m v EK = + [6] 1 1 r v ω = e 2 2 r v ω = ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 EK = m r ω + m r ω [7] ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 EK = m r + m r ω sendo ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 I = m r + m r [8] Substituindo [5] em [8] 2 1 2 1 2 2 1 r m m m m I         + = [9] 1 2 1 2 m m m m + µ = [10] 2 2 2 1 EK = µr ω [11] No átomo de 1 H o núcleo é massivo e o elétron tem massa reduzida µ dada pela equação [10] de tal maneira que gira em torno do núcleo estacionário. elétron Figura 1: representação do átomo de hidrogênio O potencial de interação (coulombiano) do elétron-próton é dado pela relação ( ) 2 2 2 1/ 2 0 2 , , 4 ( ) . x y z Z e V x y z + + = − πε [12] Onde e - = carga do elétron, Z = carga do núcleo ( para o 1 H, Z = 1) A eq. de Schroedinger dependente do tempo para este sistema é a seguinte relação, conforme mostrado abaixo: t V i x y z x y z t x y z t x y z x y z t ∂ ∂Ψ Ψ + Ψ =      ∂ + ∂ + ∂ − ( , , , ) ( , , , ) ( , , ) ( , , , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 = = µ [13] ou numa notação mais compacta: onde se consideramos o operador laplaciano 2 2 2 2 2 2 2 x y z ∂ + ∂ + ∂ ∇ = [14] Assim a eq. de Schroedinger pode ser reescrita assim: 2 2 2 t V i ∂ ∂Ψ ∇ Ψ + Ψ = = = µ [15] Cuja solução é dada: e-iEt/ (x,y,z,t) (x,y,z) = Ψ =ϕ [16] Onde ψ(x,y,z) é a função onda independente do tempo dada pela resolução da eq. de Schroedinger independente do tempo a seguir: ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 2 2 − ∇ Ψ x y z + V x y z Ψ x y z = EΨ x y z µ = [17] ou Ψ + Ψ = Ψ      ∂ + ∂ + ∂ − V E x y z 2 ( x, y,z,) ( x, y,z) ( x, y,z,) 2 2 2 2 2 2 2µ = (x,y,z) [18] Para resolvermos a equação acima é melhor escreve-la em coordenadas esféricas e usar o método de separação de variáveis elétron φ θ Próton y x z Figura 2: representação da interação coulômbiana entre o próton e o elétron, aplicando as notações de coordenadas esféricas para resolver a equação de Schrödinger. De acordo com a Figura 2, r é o raio vetor posição do elétron, 2 2 2 r = x + y + z [19] θ é o angulo polar, o qual cresce a partir do eixo z para o plano xy 2 2 2 x y arccos z z + + θ = [20] e φ é o ângulo azimutal, o qual cresce de x para y. x y ϕ = arctg [21] onde temos      = = = θ θ φ θ φ z rcos y rsen sen x rsen cos E o laplaciano em coordenadas esféricas é dado assim: 2 2 2 2 2 2 2 2 sen 1 (sen ) sen 1 ( ) 1 θ θ ϕ θ θ θ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = r r r r r r [22] A equação de Schroedinger em coordenadas esféricas fica assim após aplicarmos o operador laplaciano esférico: eq. [18] 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 2 2 2 2 2 2 sen 1 sen sen 1 1 2 θ ϕ θ φ θ φ θ θ ϕ θ µ θ θ V r r E r r r r r r r  + Ψ = Ψ      ∂ ∂ Ψ  +      ∂ ∂Ψ ∂ ∂  +      ∂ ∂Ψ ∂ ∂ − = [23] Nota importante: Podemos escrever a função de onda Ψ(r,θ ,φ ) Como um produto de três funções tal que Ψ(r,φ,θ ) = R(r)Φ(φ)Θ(θ ) 1. A primeira R(r) = dependência em r ( radial afastamento do elétron) 2. A segunda Θ(θ) = dependência em θ (mostra a posição polar do elétron) 3. A outra função Φ(ϕ) = mede a posição azimutal do elétron na sua trajetória Podemos realizar esta representação porque há um campo de força central na equação. Aplicando agora a separação de variáveis. A equação [23] pode ser reescrita (veja notação da derivada e o que deriva parte constante fica fora da derivada)  + ΘΦ = ΘΦ      Θ Φ  +     Φ  Θ  +     ΘΦ  − ER sen 1 sen sen 1 1 2 2 ( , , ) 2 2 2 2 2 2 2 V R d d r R d d d d r R dr dR r dr d r r θ ϕ θ θ ϕ θ µ θ θ =  + ΘΦ = ΘΦ      Θ Φ  +     Φ  Θ  +     ΘΦ  − ( ) ER sen 1 sen sen 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 V r R d d r R d d d d r R dr dR r dr d r θ θ ϕ θ µ θ θ = [24] Substituindo o potencial V(r )=- e divindo por RΘΦ 4 0 2 r e πε a equação [23] fica: 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 1 4 sen 2 sen sen sen m d d r e r E d d d d dr dR r dr d R = − Φ Φ = −          + +            Θ Θ  +      πε ϕ θ µ θ θ θ θ θ = [25] (constante) 1 2 2 2 m d d = − Φ Φ− ϕ 2 0 2 2 2 2 2 2 2 4 sen 2 sen sen sen m r e r E d d d d dr dR r dr d R = −          + +            Θ Θ  +      πε θ µ θ θ θ θ θ = [26] Multiplicando por r2 sen2 θ todos os membros fica 0 4 sen 1 2 sen sen 1 sen 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =         + +      Φ Φ  +      Θ Θ  +      r e r E d d d d d d dr dR r dr d R πε θ µ θ ϕ θ θ θ θ = Ou 0 4 sen 2 sen sen sen sen sen sen 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =         + +      Φ Φ  +      Θ Θ  +      r e r E d d r r d d d d r r dr dR r dr d R r r πε θ µ θ ϕ θ θ θ θ θ θ θ = Isolando os termos em ϕ (passando ao segundo membro) Note : do lado direito a equação depende só de ϕ e do lado esquerdo a dependência é em θ e r. Como temos uma igualdade a constante de separação (-m2 ) deve ser a mesma para ambas as equações. 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 1 4 sen 2 sen sen sen m d d r e r E d d d d dr dR r dr d R = − Φ Φ = −          + +            Θ Θ  +      πε ϕ θ µ θ θ θ θ θ = (constante) 1 2 2 2 m d d = − Φ Φ− ϕ 2 0 2 2 2 2 2 2 2 4 sen 2 sen sen sen m r e r E d d d d dr dR r dr d R = −          + +            Θ Θ  +      πε θ µ θ θ θ θ θ = [27] 0 cujas raizes im d ou 1 2 2 2 2 2 2 + = = ± Φ = − Φ Φ λ ϕ ϕ m d m d d logo a solução é ( ) Ne imϕ ϕ ± Φ = [28] que é a solução particular, sendo m número quântico magnético. Φ(ϕ) é a função onda átomo de 1 H que contém toda a dependência em função do Potencial ϕ. Onde ϕ varia de 0 a 2π. Normalizando a função Φ(ϕ) Φ Φ =1 ∫ Φ Φ = = π ϕ ϕ ϕ 2 0 -im N *e Ne d 1 im ∫ Φ Φ = = π ϕ ϕ ϕ 2 0 2 -im N e e d 1 im [29] 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 1 4 sen 2 sen sen 1 sen πε ϕ θ µ θ θ θ θ θ d d r e r E d d d d dr dR r dr d R Φ Φ = −          + +            Θ Θ  +      = ou π π 2 1 [2 ] 1 N 2 N = ⇒ = logo a função vale ϕ π ϕ im e 2 1 Φ( ) = [30] como Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π ) ⇒ ela é única e e e e m i m im im im im π π ϕ ϕ π π 1 1 cos 2 sen 2 2 2 = ⇒ = ⇒ = + veja que satisfaz se m = 0 ± 1 ± 2 ± 3... m = inteiro ( número quântico magnético) escolhe a solução λ = im (movimento de giro elétron sentido horário). Assim temos até o momento ( ) ( ) 2 1 ( , , ) ϕ π θ ϕ ϕ Ψ r = e R r Φ im [31] Tomando a equação [27], 2 0 2 2 2 2 2 2 2 4 sen 2 sen sen sen m r e r E d d d d dr dR r dr d R = −          + +            Θ Θ  +      πε θ µ θ θ θ θ θ = Dividindo por θ 2 sen fica 4 sen 2 sen 1 1 2 2 0 2 2 2 2 πε θ µ θ θ θ m r e r E d d d d dr dR r dr d R = −         + +             Θ Θ  +      = [32] Separando os termos da R(r ) da função Θ(θ) fica sen 1 4 sen 1 2 2 2 0 2 2 2 2       Θ Θ = − −          + +      θ θ πε θ θ µ d d d m d r e r E dr dR r dr d R = [33] devido a igualdade a constante de separaçãoé a mesma sen ( 1) 1 4 sen 1 2 2 2 0 2 2 2 2  = +      Θ Θ = − −          + +      l l d d d m d r e r E dr dR r dr d R θ θ πε θ θ µ = [34] ( 1) 4 1 2 0 2 2 2 2 = +          + +      l l r e r E dr dR r dr d R πε µ = [35] Ou sen ( 1) 1 sen 2 2  = +      Θ Θ − − l l d d d m d θ θ θ θ [36] Divide a [35] por r 2 e arrumando fica ( 1) 0 4 1 2 ( 1) 4 1 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 =         + +          + +      = +          + +      l l R r e E dr dR r dr d r ou R l l R r e E dr dR r dr d r πε µ πε µ = = [37] Esta é a equação Radial – cujas soluções são as funções de Laguerre. Apresentaremos a solução que é: Solução particular: ( ) 2 ( ) 2 1 1 2 1 3/ 2 ξ ξ ξ + + −       = − l n l n e L na R r [38] Sendo [ ] ∑ − − = + + + − − − + + + −       + − − = 1 0 2 1 1/ 2 3 2 1 ( 1 )!(2 1 )! ! ( )! . ( 1) 2 [( )!] ( 1)! ( ) n l p p l p n l n l p l p p n l n n l n l L ξ ξ Com na 2r ξ = n = 1,2,3..., l = 0,1,2,3..., m = l,-l+1,...l-1,l Se n=1, l=0, r a e a R r / 3 / 2 10 2 1 ( ) −       = Veja que se n=2, l=1 temos dois l=o e l=1, Nota 2 2 mq a = = r a l r a e a r a e e R r a r a R r / 2 3 / 2 2 / 2 3 / 2 20 2 3 1 (2 ) ( ) 2 1 ( ) − −        − =      = A outra equação: ( ) 0 sen sen 1 sen 1 2 2 Θ =       + + −      Θ θ θ θ θ θ me l l d d d d As soluções desta equação são as funções associadas de Legendre. Os harmônicos esféricos – são soluções das equações diferenciais: ) Φ(ϕ).Θ(θ representadas por [ ] ξ θ ξ ξ ξ θ ξ θ θ θ π θ ϕ ϕ cos ( 1) 2 ! 1 ( ) (cos ) ( ) ( ) sen ( ) 4 ( )! 2 1( )! ( , ) 2 1/ 2 = − = =         + + − = onde d d l P d d P onde P P e l m l l m Y l l l l l m l m m m l m im lm l A solução geral para o átomo de Hidrogênio é : ( ,θ ,ϕ) ( ) (θ ,ϕ) nlm n Ylm Ψ r = R r e -(i/=)Et Que pode ser escrita assim: Com na 2r ξ = n =1,2,3... número quântico principal l =0,1,2,3... número quântico de momento angular m = l,-l+1,...l-1,l número quântico magnético 2.3 Números Quânticos Cada conjunto de n, l, m define uma função de onda – que é um estado eletrônico do átomo. n = 1 camada k n = 2 camada l n = 3 camada m n = 4 camada n [ ] i Ent lm n l p p l p n l l nlm Y e n l p l p p n l n n l n l e L na r ( / ) 1 0 2 1 1/ 2 2 1 2 1 3 / 2 . ( , ) ( 1 )!(2 1 )! ! ( )! . ( 1) 2 [ ]! ( 1)! ) ( ) 2 ( , , ) ( − = − − = + + + − ∑ − − − + + + −       + − − Ψ = − θ ϕ ξ θ ϕ ξ ξ ξ n = 5 camada o As funções de onda de cada camada são chamadas de orbitais. a) para cada valor de n, há n-1 valor de l n = 1 l = 0 n = 2 l = 1 n = 3 l = 2 n define o estado de energia b) para cada valor de l há (2l+1) valor de m. -l< m < l l = 0 m = 0 l = 1      = = = − 1 0 1 m m m c) para cada valor de n há n2 autofunções. Exemplo, se n = 3, há 9 autofunções l = 2 -l, valor esperado da coordenada r. Veja abaixo como podemos demonstrar matematicamente este cálculo. ∫ +∞ −∞ < r >= rP dr (r,t) [17] como: ( , ) ( , ) ( , ) r t r t Pr t ψ ψ ∗ = , substituímos (16) em (17) temos que: ∫ +∞ −∞ ∗ < r >= r dr r t r t ( , ) ψ ( , )ψ [18] 2.6 Aplicação da Equação de Schrödinger Tabela 1: Exemplos do operador Hamiltoniano para o movimento de uma partícula de massa m em diferentes campos de força definidos pela função (operador) potencial V. Operador (a) Partícula livre V=0 x 2 2 2 2 ˆ dx d m H = = − (b) barreira de potencial V=V0 x 0 a 2 2 2 2 ˆ dx d m H = = − (x<0; x>0) 0 2 2 2 2 ˆ V dx d m H = − + = (0 = − ∇ − + i i j ij n j j n i r e r Ze m H 2 1 2 1 2 2 2 ˆ = (c) moléculas ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = > > = − ∇ − ∇ − + + i i j ij n i i i i n i r Z Z e r e r Z e m m H α α β αβ α α β α α α α 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 ˆ = = 2.6.1 Poço de Potencial não relativístico Considerando um potencial degrau unidimensional definido por V(x) = 0, x < 0 ( ) , 0 V x =V0 x > ΨΙ ΨΙΙ V0 x (0)= 0 x Supor que uma energia incidente da esquerda para a direita tem energia E = 4V0. Neste exemplo podemos calcular a probabilidade de que a onda será refletida (coeficiente de reflexão). Analisando o contorno do problema, para V(x) = 0 quando x<0, o potencial na região I é nulo e consideramos a partícula livre. A equação de Schrödinger se reduz à. I I E m x = Ψ ∂ ∂ Ψ − 2 2 2 2 = I I E m x = Ψ ∂ ∂ Ψ − 2 2 2 2 = 0 2 2 2 2 + Ψ = ∂ ∂ Ψ I I E m x = sendo 2 2 1 2 = mE k = 0 2 1 2 2 + Ψ = ∂ ∂ Ψ I I k E x As raízes da equação: 0 2 1 2 λ + k = , 2 1 2 λ = −k , 1 λ = ±ik ik x ik x I Ae Be 1 − 1 Ψ = + sendo      → → − Be onda refletida Ae onda incidente ik x ik x 1 1 Solução geral iEt / = I I e − Ψ = Ψ ( ) 1 1 iEt / = I ik x ik x I Ae Be e − − Ψ = + Ψ ( =) ( / =) i k1x Et / ii k1x Et I Ae Be − − + Ψ = + Na região II há um potencial ) V (x , sendo assim a partícula sofre uma ação do potencial. II V II E II m − ∇ Ψ + 0Ψ = Ψ 2 2 2 = [ ] II E V II m − ∇ Ψ = − 0 Ψ 2 2 2 = [ ] 0 2 0 2 2 ∇ ΨII + E −V ΨII = m = Considerando [ ] 0 2 2 2 E V m kII = − = 0 2 2 ∇ ΨII + kII ΨII = Achando as raízes da equação 0 2 2 2 λ + k = , 2 2 2 λ = −k , 2 λ = ±ik ( ) ik x ik x II Ce De 2 − 2 Ψ = + A solução aceitável é ik x II Ce 2 Ψ = Solução geral iEt / = II II Ψ = Ψ e ik2x iEt / = II Ψ = Ce e ( / =) i k2x Et II Ce − Ψ = logo temos as duas funções para as duas regiões I e II ik x ik x I Ae Be 1 − 1 Ψ = + para x ≤ 0 ik x II Ce 2 Ψ = para x ≥ 0 Analisando as condições de contorno a) 0 0 | | ΨI x= = ΨII x= ik x ik x ik x Ae Be Ce 1 1 2 + = − A+B=C deve ser contínua no ponto x=0 b) A sua derivada também 0 0 | | = = ∂ ∂Ψ = ∂ ∂Ψ x II x I x x ik x ik x ik x ik Ae ik Be ik Ce 2 2 1 1 1 1 − = − ik1 (A − B) = ik 2C ( ) C k k A B 1 2 − = Montando o sistema Achando B Achando C      − = + = + C k k A B A B C 1 2 C C k k A = + 1 2 2         = + 1 2 1 2 k C k A      − = ⋅ − + = + ( 1) 1 2 C k k A B A B C         = − 1 2 2 1 k k B C         − = 1 1 2 2 k C k k B B C k C k k + =         + 1 1 2 2 0 2 1 1 1 2 =        + + k k k C B         + = − 1 1 2 2 k k k C B Substituindo os valores de A, B e C em ΨI e ΨII ( ) = ( ) 1 / = 1 1 / 1 2 1 1 2 2 2 i k x Et i k x Et I e k C k k e k C k k − − −         − +         + Ψ = x<0 ( ) ( )                 − +         + Ψ = − = − 1 − / = 1 1 / 1 2 1 1 2 2 i k x Et i k x Et I e k k k e k C k k x<0 ( ) 2 / = 1 1 2 2 i k x Et II e k k k B −         − Ψ = − Obedecendo ao princípio da complementaridade temos a combinação linear do dois estados da função de onda ΨTotal = ΨI + ΨII ( ) = ( ) = ( ) 2 / = 1 1 / 1 2 1 1 / 1 2 1 1 2 2 2 i k x Et i k x Et i k x Et Total e k k k e B k k k e k C k k − − − −         −  −              − +         + Ψ = 2.7 BIBLIOGRAFIA: (1) Bassalo, J. M. F. Nascimentos da Física (1901-1950), Belém: EDUFPA, 2000. 503 p (2) Peixoto, E.M.A. Química Nova, (1978) (3) Eisberg, R. Resnick, R. Física Quântica, Ed. Campus, Rio de Janeiro, 1979. 15ª Edição. (4) Bathista, A.L.B.S., Nogueira, J. S. Uma Breve Discussão da Mecânica Quântica IX Encontro de Iniciação Científica, Cuiabá, UFMT. 2001. (5) Rey, A.B. Mecânica Quântica e Ondulatória, In: Fisica/Química Modernas. V. 3, SP, Ed. Fortaleza, 1970. (6) Born, M., Física Atômica, 1962, 4ª Edição. Ed: Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa. (7) Landau, L. Lifshitz, E. Mecânica Quântica, Teoria não relativista, 1985. Mir, Moscou. Vol.1. Capítulo 3: Método de Hückel. 3.1 Método Semi-Empírico A equação de Schrödinger para moléculas não pode ser exatamente resolvida. Isto ocorre porque a equação exata não é separável. Uma estratégia é de assumirmos que podemos permitir de escrever uma forma aproximativa de equação de Schrödinger para moléculas e principalmente que esta nova equação de Schrödinger se torne separável. E há então de procurar como resolveremos esta equação separável. O método de Hückel é uma possibilidade e de campo autoconsistente é um outro. 3.2 Elaboração Separação σ − π Para o tratamento de moléculas com elétrons π é possível escrever o Hamiltoniano total como: H = Hπ + Hσ + Hπσ [1] o método de Hückel extendido é H(σ ) Ψ(σ ) = E(σ ) Ψ(σ ) [2] e o método de Hückel simples é H(π ) Ψ(π ) = E(π ) Ψ(π ) [3] O Hamiltoniano que descreve a energia do elétron π é ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 H i i V i π = − ∇ + π [4] Sendo o Hamiltoniano total = ∑ n i Total H (i) H (i) π π [5] = ∑− ∇ + n i Total H i (i) V (i) 2 1 ( ) 2 π π [6] A função Ψπ é antissimétrica de n órbitas moleculares π. A função antissimétrica Ψπ descreve partículas que obedecem a estatística de Fermi-Dirac, para Férmions. O método de Hückel é um método classificado como semiempírico. Este pode ser simplificado no máximo a resolução das equações E = ∫ Ψ HΨdτ * , ou seja ele utiliza do método variacional para solucionar problemas de moléculas com orbitais π, e para isso ele faz algumas considerações. 3.3 Considerações do Método de Hückel i) Sij = δ ij onde δ é o delta de Krönecker. ii) Hii =α onde α é um parâmetro coulombiano iii) Hij = β se i e j pertencem a átomos ligados entre si e Estas considerações são realizadas sobre a determinante secular Hij − ESij = 0 [7] 3.4 Aplicação do Método de Hückel no Etileno H2C CH2 A determinante secular Hπ para o etileno Ψ1 = 2 pz(1) e Ψ2 = 2 pz(2)será 2x2 0 21 21 21 22 11 11 12 12 = − − − − H ES H ES H ES H ES Utilizando-se as condições de Hückel 0 1 = − − ÷ β β α α β E E 0 1 1 = − − β α β α E E , β α E x − = 0 1 1 = x x Esta é conhecida como determinante de Hückel. 1 0 2 x − = , x = ±1 para x=1 E =α − β e para x=-1 E =α + β         =        ⋅         0 0 1 1 2 1 c c x x    + = + = 0 0 1 2 1 2 c c x c x c , c1=c2 Quando normalizamos as funções ∫ Ψ Ψ =1 * dτ nós achamos os valores de c1 ( )( ) 1 1 1 2 2 * 2 2 * 1Ψ1 + Ψ Ψ + Ψ = ∫ c c c c dτ 1 2 2 2 1 0 * 1 2 2 1 0 2 * 1 2 1 2 1 2 1 Ψ + Ψ Ψ + Ψ Ψ + Ψ = ∫ ∫ ∫ ∫ c dτ c dτ c dτ c dτ   2 1 c1 = logo achamos a funções Ψ1 e Ψ2 0.707 ( ) 0.707 ( ) 1 z1 z2 Ψ = Ψ p + Ψ p 0.707 ( ) 0.707 ( ) 2 z1 z2 Ψ = Ψ p − Ψ p -2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 3 Etileno Figura 1: comportamento da função de segundo grau do Etileno 3.5 Aplicação do Método de Hückel no Butadieno A molécula 1,3 Butadieno é plana e tem preferência como isômero trans e tem fórmula 0 41 41 42 42 43 43 44 44 31 31 32 32 33 33 34 34 21 21 22 22 23 23 24 24 11 11 12 12 13 13 14 14 = − − − − − − − − − − − − − − − − H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES Fazendo as considerações do método de Hückel 0 0 0 0 0 0 0 1 = − − − − ÷ β β α β α β β α β α β E E E E 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 = − − − − β α β α β α β α E E E E sendo β α E x − = 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 = x x x x quando se tem uma determinante diagonal simétrica, utilizamos a fórmula abaixo ∏ ( ) =             + ⋅ − n j n j a bc 1 1/ 2 1 2 cos π sendo j = 1,2,..n 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 = c a c a b c a b a b x x x x 4 3 1 0 4 2 x − x + = as raízes são x = ±0.62 e x = ±1.62 α β α β α β α β 1.62 0.62 0.62 1.62 4 3 2 1 = − = − = + = + E E E E α − 1.62 β α − 0.62 β α + 0.62 β α + 0.62 β C2p 4π∗ 3π∗ 2π 1π               =               ⋅               0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 4 3 2 1 c c c c x x x x        + = + + = + + = + = 0 0 0 0 3 4 2 3 4 1 2 3 1 2 c xc c xc c c c c xc c Agora que temos o sistema montado para o Butadieno, podemos calcular todas as funções de onda relacionadas com as ligações do Butadieno. Iniciando a calcular Ψ1 o orbital de menor energia, utilizamos x= -1.62, vem:          = = = = − + = = 1 4 2 3 3 4 3 1 2 1 2 1 1.62 1.62 1.62 1.62 c c c c xc c c c c c c c Agora com a condição de normalização de Ψ1 (para Sij=0) ( )( ) 1 1 1 2 2 3 3 4 4 * 4 * 4 * 3 * 3 * 2 * 2 * 1 * 1Ψ + Ψ + Ψ + Ψ Ψ + Ψ + Ψ + Ψ = ∫ c c c c c c c c dτ 3 4 3 2 2 1 cf 1.62c f 1.62c f cf c c Ψ = i +  +  + 1 2 4 2 3 2 2 2 c1 + c + c + c = (1.62 ) (1.61 ) 1 2 4 2 2 2 c1 + c + c + c = 7,24 1 0.372 2 c = → c = substituindo c em Ψ1 , temos o resultado da primeira combinação 1 1 2 3 372 4 Ψ = 0.372ψ + 0.602ψ + 0.602ψ + 0. ψ e assim para acharmos Ψ1 , Ψ2 e Ψ3 devemos substituir no sistema acima apresentado. -2 -1 0 1 2 0,1 1 10 100 Y Coeficiente Ci Representação de 4x4 -3x2 +1 Figura 3: comportamento do determinante do butadieno 3.6 Aplicação do Método de Hückel para o Ciclobutadieno A molécula do Ciclobutadieno difere da molécula do Butadieno porque esta possui os carbonos ligados 2 em 2. lembrando que a determinante secular é 0 41 41 42 42 43 43 44 44 31 31 32 32 33 33 34 34 21 21 22 22 23 23 24 24 11 11 12 12 13 13 14 14 = − − − − − − − − − − − − − − − − H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES H ES 0 0 0 0 0 1 = − − − − ÷ β β β α β α β β α β α β β E E E E 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 = − − − − β α β α β α β α E E E E sendo β α E x − = 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 = x x x x ; 4 2 x − 4x x = 0 e x = ±2 α β α α α β 2 2 4 3 2 1 = − = = = + E E E E onde E2 e E3 são degenerados α−2β α α+2β               =               ⋅               0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 4 3 2 1 c c c c x x x x        + + = + + = + + = + + = 0 0 0 0 1 3 4 2 3 4 1 2 3 1 2 3 c c xc c xc c c xc c xc c c -2 -1 0 1 2 -4 -3 -2 -1 0 Y X Figura 5: comportamento do determinante do ciclobutadieno 3.7 Referência: (1) Vidal, B. Chimie Quantique: de l’atome à la théorie de Hückel. Ed. Masson: Paris, 1993 (2) Gil, V. M. S., Orbitais em Átomos e Moléculas, Fundação Calouste Gulbenkian, 1996 (3) Rogers, D. W. Computational Chemistry Using the PC, 2º Ed. VCH: New York, 1994 (4) Bernath, P. F. Spectra of Atoms and Molecules, Oxford Univesity Press, New York, 1995 (5) Levine, I. N. Quantum Chemistry, 4º Ed. Prentice Hall, New Jersey, 1991 (6) Hanna, M. W. Quantum Mechanics in Chemistry, 2º Ed. Benjamin, Colorado, 1969 (7) Anderson, P. W. Phys. Rev. 181, 25 (1969) Capítulo 4: Método Variacional. 4.1 Introdução O método variacional trata-se de um princípio importante em Química Quântica, não só porque permite obter soluções aproximadas para a equação de Schrödinger como também porque fornece um critério, o valor mínimo de energia. Considerando a equação de Schrödinger. HΨ = EΨ [0] onde Ψ e E são autofunção e autovalor do Hamiltoniano, são soluções exatas desta equação. Normalmente o Hamiltoniano é de tal forma que a equação [0] não é separável, qualquer que seja o sistema de coordenadas. Por essa razão não é possível pensarmos em obter uma expressão analítica exata para Ψ. Passemos então a examinar as propriedades da funcional ) E(ψ , definida como τ τ τ H d d H d E ∫ ∫ ∫ = Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ = * * * [1] Esta é a integral variacional. Uma função qualquer, que seja normalizada, bem comportada e que satisfaz as condições de contorno do problema, podemos mostrar que esta função admite que o valor esperado do operador Hamiltoniano para uma função de onda aproximada é sempre maior que a energia exata E0 correspondente a esse Hamiltoniano. ∫ Ψ Ψ ≥ 0 * H dτ E [2] Em outras palavras, a função de onda aproximada conduz à menor energia. Assim sendo, os coeficientes k c nas orbitais moleculares Ψ são determinados de modo a conduzirem ao valor mínimo de energia E associada com essa orbital molecular. Em relação à obtenção de soluções aproximadas, o que se faz na prática consiste em partir de uma função aceitável, com vários parâmetros ajustáveis, e variar esses parâmetros de modo minimizar E pois, segundo o princípio variacional, conseguirá obter-se uma melhor aproximação para a energia do estado fundamental E0 ∑ ∑ ∑∑ ∫ ∑∑ ∫ ∫∑ ∑ ∫∑ ∑ = Ψ Ψ Ψ Ψ = Ψ Ψ Ψ Ψ = kj k j kj kj k j kj k j k j k j k j k j k j k k k k k k k k c c S c c H c c c c H c c d c H c d E * * * * * * * * ˆ ˆ τ τ Provando a afirmação [2], k k k Ψ = ∑a Ψ [3] Substituindo [3] no lado esquerdo de [2] ∫ Ψ Ψ = ∫∑ Ψ ∑ Ψ = ∫∑ Ψ ∑ Ψ j j j k k k j j j k k k H dτ a H a dτ a a H dτ ˆ ˆ * * * * * ∫ Ψ Ψ = ∫∑ Ψ ∑ Ψ = ∑∑ ∫ Ψ Ψ = ∑∑ Ψ k j j k j j j kj k k j j j k j j j j k k k H dτ a a E dτ a a E dτ a a E δ * * * * * * ∫ Ψ Ψ = ∑∑ Ψ k j H d ak a j E j jδ kj τ * * [4] onde δ kj é o delta de Kroenicker,      ≠ = se k se k j 0 1 como temos δ kj podemos conseguir o termo ∑ k k k Ek a a * ∫ Ψ Ψ = ∑ = ∑ k k k k H d ak ak Ek a E * * 2 τ [5] sendo que o nível k é sempre maior Ek > E0 , onde E0 é o estado fundamental do sistema. ∫ Ψ Ψ = ∑ ≥ ∑ = ∑ k k k k k k k k H d a a E a E E a 2 0 0 * * 2 τ [6] Através da normalização ∫ Ψ Ψ =1 * H dτ [7] agora substituindo Ψ = ∫∑ Ψ ∑ Ψ = ∑∑ ∫ Ψ Ψ k j kj k k j j k j k j a a dτ a a dτ * * * * 1 1 * * ∑∑ Ψ Ψ = ∫ k j ak a j k j dτ [8] abrindo a somatória em j ∑∑ = ∑ k kj k k j k j a a a * 2 δ [9] Substituindo [9] em [6] ∫ Ψ Ψ = ∑∑ k j k j kj H dτ E a a δ * 0 * [10] ∫ Ψ Ψ ≥ 0 * H dτ E [11] Isso mostra a prova. Por isso temos que ajustar bem a solução de Ψ muito bem para atingirmos o estado E0 (valor real) que é o estado fundamental. Ajustar a função Ψ é ajustar a função de base computacionalmente. 4.2 Extensão do método Variacional O método variacional apresentado na seção passada tem duas limitações. Primeira, ele provê informação de energia somente sobre o estado fundamental e da função de onda. Segundo, ele provê um estado acima do estado fundamental somente. Nesta seção gostaríamos de estender o método variacional. Considerando que nós desejamos estender o método variacional para obter um valor de energia estimada para o primeiro estado excitado. Demonstrado que a função variacional normalizada [5] e [8] ∫ ∑= Ψ Ψ = 1 * 2 k H d ak Ek τ e 1 1 * 2 Ψ Ψ = ∑ = ∫ k= k j d ak τ onde ak é a expansão do coeficiente em k k Ψ = ∑akΨ . Tendo ak = Φk Ψ . A função Ψ que é ortogonal para o estado fundamental real da função de onda Φ0 . Então nós temos a0 = Φ0 Ψ = 0 e e ∫ ∑= Ψ Ψ = 2 * 2 k H d ak Ek τ e 1 2 * 2 Ψ Ψ = ∑ = ∫ k= k j d ak τ [12] para 1 k ≥ , temos Ek ≥ E1 e 1 2 2 ak Ek ≥ ak E ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = ≥ = = 1 1 2 1 1 1 2 1 2 k k k k k ak Ek a E E a E [13] Combinando [12] e [13], temos o resultado: ∫ Ψ Ψ ≥ 1 * Hˆ dτ E , se ∫ Ψ Ψ = 0 ˆ * H dτ e ∫ Ψ Ψ =1 ˆ * H dτ [14] a extensão do método variacional para altos estados excitados acima de E1. 1 * * ˆ ≥ + Ψ Ψ Ψ Ψ ∫ ∫ Ek d H d τ τ , se 0 * * 1 * ∫ 0 ∫ ∫ Ψ Φdτ = Ψ Φdτ = ⋅ ⋅⋅ = Ψk Φdτ = [15] 4.3 Função Variacional Linear Um tipo especial de função variacional é usado largamente no estudo de moléculas, é a Função Variacional Linear ou Método Variacional de Raleigh-Ritz. Uma função variacional linear é uma combinação de n funções linearmente independente n f , f ,... f 1 2 : ∑ = Ψ = + + = n j n n j j c f c f c f c f 1 1 1 2 2 ... [16] onde Ψ é a função trial variacional e os coeficientes j c são parâmetros para ser determinados pela minimização da integral variacional. A função j f deve satisfazer a condição de contorno do problema. Nós apresentamos que Ψ , j c e j f são reais. Aplicando o teorema variacional para a função variacional linear, nós temos ∫ ∫∑ ∑ ∑∑ ∫ = = = = Ψ Ψ = = n j j k n k j k n k j k k n j d c j f c f d c c f f d 1 * 1 * 1 * 1 * * τ τ τ [17] Agora devemos definir a integral de superposição S jk como ∫ S = f f dτ jk j k * [18] sendo jk os elementos de matriz. Substituindo [18] em [17] temos ∫ ∑∑ = = Ψ Ψ = n j n k j k S jk d c c 1 1 * * τ [20] Note que S jk não é necessariamente igual a δ jk , desde não há razão para supor que a função j f são mutuamente ortogonais. O numerador da integral variacional é ∫ ∫∑ ∑ ∑∑ ∫ = = == Ψ Ψ = = n j n k n j n k H d c j f j H ck f k d c jck f j Hf k d 1 1 11 * * * * * τ τ τ e usando a abreviação ∫ H ≡ f Hf dτ jk j k * [21] Reescrevendo o numerador ∫ ∑∑ = = Ψ Ψ = n j n k H d c jck d 1 1 * * τ τ [22] Substituindo [22] e [20] na integral variacional W, ∑∑ ∑∑ ∫ ∫ = = = = = Ψ Ψ Ψ Ψ = n j n k j k jk n j n k j k jk c c S c c H d H d W 1 1 1 1 * * τ τ [23] Arranjando [23] ∑∑ ∑∑ = = = = = n j n k j k jk n j n k W c jck S jk c c H 1 1 * 1 1 * [24] agora devemos minimizar W para aproximar tão perto de E0 ( ) W ≥ E0 . A integral variacional W é uma função de n variáveis independentes n c , c ,...c 1 2 ( , ,... ) 1 2 n W =W c c c Uma condição necessária para minimizar uma função W de muitas variáveis é que a sua derivada parcial a respeito a cada uma de sua variável seja zero no ponto mínimo. = 0, ∂ ∂ i c W i =1,2,...n [25] agora nos diferenciamos [24] parcialmente em cada ci para obter n equações: ∑∑ ∑∑ ∑∑ == == == ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ n j n k n j n k n j i n k i j k jk i j k jk i j k jk i c c H c c c S c c c S W c W 11 11 [26] i= 1,2,...,n Agora ( ) jk n j n j n k n j n k i k j i j j k jk k i jk n k j k i S c c c c c c c S c c c c S c ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ = == == =         ∂ ∂ + ∂ ∂  =      ∂ ∂ = ∂ ∂ 1 11 11 1 os cj são variáveis independentes, e portanto = 0 ∂ ∂ i j c c se j ≠ i =1 ∂ ∂ i j c c se j = i ij i j c c = δ ∂ ∂ Nós temos então ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ = == == = = = = + = + ∂ ∂ n k n j ji jk k ik j n j n j n k n j n k jk k ij jk j ik n k j k i c c S c S c S c S c c 1 11 11 1 1 1 δ δ ∑∑ ∑ ∑ = = = = = + ∂ ∂ n k n j k ik j ji n j jk n k j k i c c S c S c S c 1 1 1 1 [27] Onde nós temos desenvolvido S ji = Sij = Sij * [28] Resolvendo a equação [27] a partir desta relação, conseguimos compacta-la: ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = + = + ∂ ∂ n k n k k ik k ik n k n j k ik j ij n j jk n k j k i c c S c S c S c S c S c 1 1 1 1 1 1 ∑∑ ∑ = = = = ∂ ∂ n k k ik n j jk n k j k i c c S c S c 1 1 1 2 [29] onde o fato de j ser uma variável aleatória utilizada e recolocando S jk por H jk em cada uma destas manipulações, nós temos o numerador da equação vai ∑∑ ∑ = = = = ∂ ∂ n k k ik n j jk n k j k i c c H c H c 1 1 1 2 [30] o resultado depende de H ji = Hij = Hij * Porque H é Hermitiano, agora substituindo [25], [29] e [30] em [26] W c S c H i n n k k ik n k k ik 2 2 , 1,2,... 1 1 ∑ = ∑ = = = Rearranjando ou [ ] ( ) H S W c i n n k ik ik k 0, 1,2,.. 1 ∑ − = = = [31] Sendo esta conhecida como Sistema de Equações Seculares. A equação [31] é um conjunto de n equações simultâneas, lineares e homogêneas em n de c1, c2,...cn desconhecidos. E pode ser representada como Dm (W ) = Hik − WSik = 0 , onde m é a linha da determinante. Uma solução trivial das equações seculares é todos os coeficientes k c serem nulos. Qualquer solução fisicamente relevante exige que seja nulo o chamado determinante secular, constituído pelos elementos Hik − ESik Hik − ESik = 0 [32] ou D(E) = Hik ESik = 0 da equação [31] podemos obter os valores reais de W =Wm1,Wm2 ,...,Wmm os quais correspondem Ψ = Ψm1,Ψm2 ,...,Ψmm . Onde o valor esperado da energia Ψ é facilmente visto por ∫ ∫ Ψ Ψ Ψ Ψ = τ τ d H d E * * ou C SC C C + + = H E 4.4 Aplicação do Método Variacional Sabemos que agora temos a parte secular da integral variacional e podemos a partir daqui aplicar o método variacional no estudo de energias de orbitais atômicos e moleculares. 0 0 * = Ψ Ψ ≥  →  − = ∫ ik iK Equação Secular E H dτ E H ES Para átomo as funções de base são os elétrons e para molécula as funções de base são os orbitais moleculares. Ex: para o Benzeno há 36 orbitais, ou seja 36 combinações lineares. Logo Ψφ será ∑ = Ψ = 36 i 1 i i φ c φ e a sua determinante será de 36x36. há 42 elétrons no benzeno e 21 orbitais estão ocupados e outros 21 são virtuais. Sendo que o último orbital ocupado é chamado de HOMO (Highest Occupied molecular Orbital) e o primeiro orbital não ocupado é o LUMO (Lowest Unccupied Molecular Orbital). Se soubermos a diferença de energia LUMO e HOMO, podemos achar a energia de ionização da molécula. A energia total dos orbitais ocupados é da seguinte forma ( ) 2 1 = ∑ + + ⋅ = n i ET Ei EC EEx Onde n é o número de orbitais ocupados, 2 o par de elétrons e Ei número de orbitais, EC repulsão coulombiana e EEx é a energia de troca. 4.5 Método Variacional para o Átomo de Hidrogênio A partir da função tentativa r e α α − Ψ = para o estado fundamental do átomo de Hidrogênio, calcule o valor de α que minimiza a energia. α α α α Ψ Ψ Ψ Ψ = H E [1] Sendo o Hamiltoniano H, r Z r r r r r r r r H −         ∂ ∂  +      ∂ ∂ ∂ ∂  +      ∂ ∂ ∂ ∂ = − 2 2 2 2 2 2 2 sen 1 sen sen 1 1 2 1 θ φ θ θ [2] dτ r senθdrdθdφ 2 = ( 0) ! 1 = ≥ + − ∫ a a n e r dr n αr n Como o átomo de Hidrogênio depende somente de r, o operador se reduz à r Z r r r r H −            ∂ ∂ ∂ ∂ = − 2 2 1 2 1 [3]             ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ ≡ r r r r 2 2 2 1             ∇ = + dr d dr d r dr r d r r 2 2 2 2 1 2 1         ∇ = + 2 2 2 2 dr d dr d r [4] Substituindo [4] em [3] r Z H = − ∇ − 2 2 1 [5] Reduzindo a equação [1] E = Ψα H Ψα [6] e aplicando o operador em [6] = Ψα − ∇ − Ψα r Z E 2 2 1 = − Ψα ∇ Ψα − Ψα Ψα r E Z 1 2 1 2 = − Ψα + Ψα − Ψα Ψα r Z dr d dr d r E 2 1 2 1 2 2 = − Ψα Ψα − Ψα Ψα − Ψα Ψα r Z dr d dr d r E 1 2 1 1 2 2 [7] para que a variação funcional, δE(Ψα ), seja mínima → δE(Ψα ) = δ H = 0 sendo que α α α Ψα = = −α = −α Ψ − r − r e e dr d dr d e que Ψα =α Ψα 2 2 2 dr d , teremos: α α α α α α α =α Ψ Ψ − Ψ Ψ − Ψ Ψ r Z r E 1 2 1 2 r Z r E = − − 2 2 α α 2 1 ( ) 2 α = α − − r E Z [8] Normalizando Ψα Ψα Ψα =1 lembrando que ( 0) ! 1 = ≥ + − ∫ a a n e r dr n αr n 1 2 2 = ∫ −e r dr αr 1 2(4 ) 2! 3 2 = α N → 3 N = 4α [9] calculando o valor médio de r 1 ∫ − = dr r r N e r r 2 1 2 α ∫ −       = e rdr r αr α 2 3 4 1         = ⋅ 2 3 (2 ) 1 4 1 α α r =α r 1 [10] Substituindo [10] em [8] 2 ( ) 2 α E = α − Z α − α α α E =α − Zα − = − Z 2 2 2 2 2 [11] como δE(Ψα ) = δ H = 0 , o mínimo de energia será obtido se derivarmos E em relação a α e igualando-se a zero, Z Z d dE = − = →α = α α 0 2 2 [12] Substituindo [12] em [11], e lembrando que Z=1 para o átomo de hidrogênio. . . 2 1 (1) 2 (1) 2 E = − = − u a . . 2 1 E = − u a [13] 4.6 Método Variacional para o Átomo de Hélio Aplicando o método variacional para o átomo de Hélio e encontrando a energia do estado fundamental a partir da função tentativa. 1 3 1 (1) r s e α π α = e 2 3 1 (2) r s e α π α = [1] Um Hamiltoniano de N elétrons e M núcleos é       repulsão nn M k M l k kl k l N i M k repulsão e e N i N j ik repulsão e n N i M k ik k k k i R Z Z r r Z M H − = = = > − − − = > − − = = = − ∑ ∑ ∑∑ ∇ − ∇ − ∑ ∑ + + ∑ ∑ 1 1 11 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 ˆ [2] No átomo de Hélio, consideremos os núcleos fixos, podemos omitir o termo de energia cinética dos núcleos para obter o Hamiltoniano puramente eletrônico, separando-o do nuclear. Sendo que há 5 termos no Hamiltoniano do Hélio [ ] ik jk ij eletrônico i j r r Z r Z H 1 2 1 ˆ 2 2 = − ∇ − ∇ − − − [3] Ψap = Φespacial × Φspin Ψ =1s(1)1s(2) ×α(1)α(2) ap , há 4 possibilidades de função de spin desde que negligenciamos o efeito magnético. A) 1sα(1)1sα(2) Ψap = B) 1sβ (1)1sβ (2) Ψap = C) 1sα(1)1sβ(2) Ψap = D) 1sα(1)1sα(2) Ψap = Onde A) e B) são simétricas e C) e D) são antissimétricas. C) 0 1 (2) 1 (2) 1 (1) 1 (1) 2! 1 Ψ =1 (1)1 (2) −1 (1)1 (2) → Ψ = = α β α β α β β α s s s s s s s s ap ap D) 0 1 (2) 1 (2) 1 (1) 1 (1) 2! 1 Ψ =1 (1)1 (2) −1 (1)1 (2) → Ψ = = β α β α β α α β s s s s s s s s ap ap Utilizando C) 1sα(1)1sβ (2) 1sβ (1)1sα(2) Ψap = − () () 1s(1)1s(2) α(1)β (2) 1s(1)1s(2) β (1)α(2) Ψap = − Ψ = 1s(1)1s(2)[ ] α(1)β (2) − β (1)α(2) ap [4] A parte espacial é simétrica e lembrando que a função de spin já está normalizada [ ]       spin espacial ap s s (1) (2) (1) (2) 2! 1 Ψ =1 (1)1 (2) α β − β α [5] Verificando a ortonormalização da função de spin [ ] [ ] (1) (2) 1 2 1 (1) (1) (2) (2) 2 1 (1) (1) (2) (2) 2 1 (1) (2) 2 1 (1) (2) (1) (2) 2! 1 (1) (2) (1) (2) 2! 1 2 2 2 1 2 2 * 1 2 2 * 1 2 2 2 1 * 1 2 + = − + − − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ β α α β β α α β α β β α α β β α α β β α [6] ∑ =− = 1/ 2 1/ 2 2 ( ) 1 ms α ms e ∑ =− = 1/ 2 1/ 2 2 ( ) 1 ms β ms [7] Desde que as funções αe β correspondem a diferentes autovalores do operador Hermitiano z S ˆ , eles são ortogonais. ∑ =− = 1/ 2 1/ 2 * ( ) ( ) 0 ms α ms β ms [8] Aplicando estas notações na verificação de ortonormalização (1) (1) 1 2 1 (0) (0) 2 1 (0) (0) 2 1 (1) (1) 2 1 ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ = 1=1 [10] A integral variacional é ( ) [ ] ( ) [ ] 1 2 * * 1 2 * (1) (2) (1) (2) 2 1 (1) (2) (1) (2) 1 (1)1 (2) 2 1 Ψ HΨ = 1s(1)1s(2) α β − β α H s s α β − β α dv dv ∫ ∫∫ ∑∑ Neste caso H não atua na função de spin e a integral variacional torna-se ( )( ) ∫ ∫∫ Ψ Ψ = ∑∑ −     1 2 1 2 1 2 * * (1) (2) (1) (2) 2 1 H 1s(1)1s(2) H 1s(1)1s(2) dv dv α β β α [11] Como a função de spin é normalizada, a integral variacional se reduz a ( ) ( ) ∫ ∫∫ Ψ Ψ = 1 2 * * H 1s(1)1s(2) H 1s(1)1s(2) dv dv [12] Substituindo o Hamiltoniano [3] em [12] ( ) [ ] ( ) ∫ ∫∫         Ψ Ψ = − ∇ − ∇ − − − 1 2 * * 2 2 1 (1)1 (2) 1 2 1 1 (1)1 (2) s s dv dv r r Z r Z H s s ik jk ij i j [13] ( ) ( ) 1 2 * 2 * 1 * 2 * 2 1 * 1 * 2 2 * 1 (1)1 (2) 1 1 (1) 1 (1) 1 (2) 1 (2) 1 (1)1 (2) 1 (2) 2 1 1 (1) 1 (1) 1 (1) 1 (2) 2 1 1 (1) 1 (2) 1 (1) s s dv dv r s dv s s r Z s dv s r Z s E s s dv s s dv s s dv s s dv i j ij i j ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + + +       + − ∇       = − ∇ Aplicando os operadores nas funções espaciais Ψ = = =α Ψ π α α π α α α ir ir i i e e dr d dr d 3 3 , Ψ = = − = − Ψ − − α π α α π α α α j r j r j j e e dr d dr d 3 3 e que Ψ = Ψ2 2 2 α i dr d , Ψ = Ψ2 2 2 α j dr d Logo a expressão de Energia na notação de Dirac torna-se = − Ψ Ψ − Ψ Ψ − Ψ Ψ − Ψ Ψ − Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ i j ij j j j i i i r Z r Z r Z dr d dr d dr r d dr d r E 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2               α α α α α α α α α (5 / 8) 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 = − Ψ Ψ − Ψ Ψ + Ψ Ψ − Ψ Ψ − Ψ Ψ − Ψ Ψ + Ψ Ψ i j i j ij r Z r Z r Z r r E α α α 8 5 2 2 E = − − z + como δE(Ψα ) = δ H = 0 , o mínimo de energia será obtido se derivarmos E em relação a α e igualando-se a zero, 0 8 5 = −2 − 2z + = d dE α α 8 5 − 2(α + z) = − 16 5 α = −z + α =1.6875 Substituindo o valor de α na expressão de energia (1.6875) 8 5 (1.6875) 2(2)(1.6875) 2 E = − + E = −2.8477 Hartree 4.7 Método Variacional para Sistema de dois Spins Ψ Ψ Ψ Ψ = H E [1] Sendo o Hamiltoniano H, 1 1 2 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ H = −ν I −ν I + JI ⋅I [2] Agora analisemos a interação spin-spin e podemos ver que esta atua como uma perturbação no sistema de spins. E por isso consideramos esta como uma perturbação, logo podemos escrever o Hamiltoniano [2] da forma: (0) (1) H = H + H [3] onde (0) 2 (0) 1 (0) H = H + H e 1 1 (0) 1 ˆ H = −ν I e 2 2 (0) 2 ˆ H = −ν I , o qual a sua função aproximada é Ψap = Φespacial × Φspin [4] Ψ =1s(1)1s(2) ×α(1)α(2) ap , há 4 possibilidades de função de spin desde que negligenciamos o efeito magnético. a) 1sα(1)1sα(2) Ψap = b) ) 1sβ(1)1sβ(2 Ψap = c) ) 1sα(1)1sβ (2 Ψap = d) 1sα(1)1sα(2) Ψap = Onde a)e b) são simétricas e c) e d) são antissimétricas. c) 0 1 (2) 1 (2) 1 (1) 1 (1) 2! 1 Ψ =1 (1)1 (2) −1 (1)1 (2) → Ψ = = α β α β α β β α s s s s s s s s ap ap d) 0 1 (2) 1 (2) 1 (1) 1 (1) 2! 1 Ψ =1 (1)1 (2) −1 (1)1 (2) → Ψ = = β α β α β α α β s s s s s s s s ap ap Utilizando c) 1sα(1)1sβ (2) 1sβ (1)1sα(2) Ψap = − (1s(1)1s(2))α(1)β (2) (1s(1)1s(2))β (1)α(2) Ψap = − Ψ =1s(1)1s(2)[α(1)β (2) − β (1)α(2)] ap [5] A parte espacial é simétrica e lembrando que a função de spin já está normalizada [ ]       spin espacial ap s s (1) (2) (1) (2) 2! 1 Ψ =1 (1)1 (2) α β − β α [6] Verificando a ortonormalização da função de spin [ ] [ ] (1) (2) 1 2 1 (1) (1) (2) (2) 2 1 (1) (1) (2) (2) 2 1 (1) (2) 2 1 (1) (2) (1) (2) 2! 1 (1) (2) (1) (2) 2! 1 2 2 2 1 2 2 * 1 2 2 * 1 2 2 2 1 * 1 2 + = − + − − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ β α α β β α α β α β β α α β β α α β β α [7] ∑ =− = 1/ 2 1/ 2 2 ( ) 1 ms α ms e ∑ =− = 1/ 2 1/ 2 2 ( ) 1 ms β ms [8] Desde que as funções α e β correspondem a diferentes autovalores do operador Hermitiano z S ˆ , eles são ortogonais. ∑ =− = 1/ 2 1/ 2 * ( ) ( ) 0 ms α ms β ms [9] Aplicando estas notações na verificação de ortonormalização (1) (1) 1 2 1 (0) (0) 2 1 (0) (0) 2 1 (1) (1) 2 1 ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ = 1=1 [10] A integral variacional é ( ) [ ] ( ) [ ] 1 2 * * 1 2 * (1) (2) (1) (2) 2 1 (1) (2) (1) (2) 1 (1)1 (2) 2 1 Ψ HΨ = 1s(1)1s(2) α β − β α H s s α β − β α dv dv ∫ ∫∫ ∑∑ Neste caso H não atua na função de spin e a integral variacional torna-se ( )( ) ∫ ∫∫ Ψ Ψ = ∑∑ −     1 2 1 2 1 2 * * (1) (2) (1) (2) 2 1 H 1s(1)1s(2) H 1s(1)1s(2) dv dv α β β α [11] Como a função de spin é normalizada, a integral variacional se reduz a ( ) ( ) ∫ ∫∫ Ψ Ψ = 1 2 * * H 1s(1)1s(2) H 1s(1)1s(2) dv dv [12] Substituindo o Hamiltoniano [3] em [12] ( ) [ ]( ) ∫ ∫∫ Ψ Ψ = + + 1 2 (0) (1) 2 (0) 1 * * H 1s(1)1s(2) H H H 1s(1)1s(2) dv dv [13] [ ] [ ] ( ) [ ]( ) 1 2 1 2 * 2 2 2 * 1 * 1 1 1 * 2 * 1 (1)1 (2) ˆ ˆ 1 (1)1 (2) 1 (2) ˆ 1 (1) 1 (1) 1 (1) 1 (2) ˆ 1 (1) 1 (2) 1 (1) s s J s s dv dv E s s dv s s dv s s dv s s dv ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + ⋅ = − + − I I ν I ν I 4.8 Referências: (1) Teixeira, J. J. C. D., Química Quântica: Fundamentos e Métodos, Fundação Calouste Gulbenkian, 1982 (2) Gil, V. M. S., Orbitais em Átomos e Moléculas, Fundação Calouste Gulbenkian, 1996 (3) Levine, I. N. Quantum Chemistry, Prentice Hall, 1991 (4) Peixoto, E. M. A. Teoria Quântica, São Paulo, 1988 (5) Christoffersen, R. E. Basic Principles and Techniques of Molecular Quantum Mechanics, Springer-Verlag, 1989 () Hameka, H. F. Advanced Quantum Chemistry, Addison-Wesley, 1965 (6) MacDonald, J. K. L. Phys. Rev. 43, 830 (1933) (7) Löwdin, P. O. Phys. Rev. 110, 1466 (1958) (8) You, S. K., et. al. Eur. J. Phys., 19, 179 (1998) (9) Mur-Petit, J. et al. Am. J. Phys., 70, 808 (2002) (10) Rath, B. Eur. J. Phys., 11, 184 (1990) (11) Garrod, C. et. al. J. Math. Phys. 16, 868 (1975) Capítulo 5: Teoria do Campo Autoconsistente (SCF) 5.1 Introdução A teoria do campo autoconsistente (self-consistent field, SCF) para sistemas atômicos e moleculares, na formulação de Slater (1), se baseia no modelo seguinte: em vez de considerar todas as interações instantâneas entre os pares de elétrons do sistema, supõese que o potencial atuando sobre cada elétron é devido 1) aos núcleos e 2) à distribuição de carga média dos outros elétrons. Para os átomos com camadas fechadas esta distribuição é esférica, e o modelo é de campo central (1/r), logo um campo atuando sobre um elétron em ir G , depende então da distribuição de carga média dos outros elétrons, que tem a seguinte forma: N N ij repulsão i N d d r V r τ τ = ∫ Ψ Ψ ... 1 ( ) (1,2,...,2 ) (1,2,...,2 ) G * [1] ou seja, que está definido em termos da autofunção que é justamente a variável. O problema se resolve utilizando um método iterativo: postula-se uma certa distribuição eletrônica que permite calcular o potencial aproximado, constroe-se então o Hamiltoniano aproximado e acham-se as suas soluções. A nova Ψ é supostamente melhor que a primeira; o campo construído a partir dela dá origem a um novo H cujas soluções dão origem à um novo campo, e o processo se repete até que o campo seja autoconsistente, ou seja, até que o potencial calculado em duas interações consecutivas seja constante, dentro da margem de precisão pré estabelecida. A teoria SCF, nesta formulação conduz às equações de Hartree-Fock-Slater, que são a base de métodos usadas especialmente em física do estado sólido, e popularizadas em química. Existem porém várias teorias SCF: a que os químicos usam geralmente é a de Hatree-Fock-Roothaan (HFR) (2), que é uma forma aproximada da teoria de Hartree-Fock (HF). Ambas as teorias se baseiam num modelo puramente matemático: para o caso de sistemas de camadas fechadas, consiste em representar o estado do sistema por uma função Ψ escrita como um único determinante de Slater em termos de um conjunto de funções de base monoeletrônicas { } Ψi , sendo que as funções Ψi são otimizadas utilizando o princípio variacional. No modelo de HF, as Ψisão variadas sem restrições, as equações são resolvidas numericamente, e as soluções são os orbitais de Hartree-Fock, (HF) Ψi : a energia calculada formado um determinante de Slater com estes orbitais, é a energia mínima que é possível conseguir com uma função de onda deste tipo. Na prática, as variações efetuadas em {Ψi } estão em vários sentidos, e os orbitais (HF) Ψi não são estritamente calculados. No modelo de HFR, as equações não são resolvidas numericamente, e os orbitais são expandidos como combinações lineares de funções de certos conjuntos finitos, {Ψµ}, que podem ser funções gaussianas, orbitais atômicas, etc.: Ψ = ∑ Ψ m HFR i i c µ µ µ ( ) ( ) [2] onde m é a dimensão do conjunto de base {Ψµ}. Os orbitais (HFR) Ψi são aproximações aos (HF) Ψi : ( ) ( ) lim HF i HFR i m iteΨ = Ψ →∞ [3] No caso de moléculas, os orbitais moleculares (MO) são expandidos como combinação linear de orbitais atômicos (LCAO), e o modelo chama-se de SCF-LCAO-MO. A interpretação física das equações resultantes do modelo matemático acima não é tão simples quanto a do modelo de Slater: além da interação de Coulomb entre os elétrons, o potencial contém termos, chamados de troca ou de permuta (exchange) que surgem devido à antissimetria da função de onda. 5.2 Valor médio da Energia Dada uma função de onda Total Ψ eletrônica para um sistema de 2N elétrons e M núcleos, escrita como determinante de Slater em termos de um conjunto de 2N spinorbitais, { espacial Spin } Total Ψ = Â Ψ × Ψ [4] Onde  é o operador antissimetrizador. A expressão para o valor médio da energia é: τ τ d H d E ∫ ∫ Ψ Ψ Ψ Ψ = * * [5] Sabendo que a função de base é antissimétrica e o operador Hamiltoniano ∑ ∑∑ ∑ < +         = − ∇ − N i N i N j ij M A Ai A r r z H 2 22 2 1 2 1 [6] lembrando que este é um Hamiltoniano especial (a interação de um elétron com o restante do caroço), a Primeira parte entre colchete está constituída por operador de um elétron, os termos de energia cinética dos elétrons e a porção da energia potencial relativa à interação dos elétrons com os núcleos: = ∑ N i H h i 2 1 ( [7] ) onde = − ∇ − ∑ M A Ai A i r z h 2 2 1 (1) [8] Freqüentemente se utilizam aproximações nas quais os elétrons das camadas internas não são considerados individualmente; o efeito dos elétrons internos é introduzido no Hamiltoniano h(1) o qual contém a energia potencial do caroço molecular: = ∑ N i caroço H h i 2 1 ( [9] ) a segunda parte do Hamiltoniano: ∑∑ < = N i N j ij r H 2 2 2 1 [10] e depende de pares de elétrons. Para calcular é conveniente escrever o operador antissimetrizador  em termos do operador permutação, Pˆ (umas vez que as funções de base são antissimétricas): = ∑ − P P P N  ˆ ( 1) 2 ! 1 [11] O fator (-1)P vale ±1 segundo que a permutação seja par ou ímpar, e a somatória é sobre todas as possíveis permutações de 2N elementos, ou seja, que tem 2N! termos. O operador Pˆ permuta as coordenadas dos elétrons na função sobre a qual atua, assim, por exemplo: { } ( 1) { } (1) (1) (3) (3) (4) (4) (2) (2) (1) (1) (2) (2) (3) (3) (4) (4) ˆ 1 1 2 2 342 1 1 2 2 α β α β α β α β = − Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ = P P [12] para determinar se a permutação é par ou ímpar, compara-se os subíndices, neste caso 342, com a ordem crescente normal, 234, e obtém-se o número de transposições necessárias para transformar uma seqüência na outra. No caso considerado, transpondo o número dois em duas casas para a esquerda obtemos a seqüência 234; como são necessárias duas transposições, a permutação é par, e (-1)P = (-1)2 = +1. Como a função Ψ [4] está normalizada, o valor médio pode ser escrito como: { }[ ] { } N N N P P P P P N N d d d P N N H H N E 1 1 2 2 1 2 * * 1 ' ' ' (1) (1)... (2 ) (2 ) ... ˆ (1) (1)... (2 ) (2 ) ˆ ( 1) 2 ! 1 α β τ τ τ α β Ψ Ψ = − Ψ Ψ + ∑∑ ∫ ∫ + [13] 5.3 O Valor médio de H1 Consideramos primeiro o integral sobre H1, que chamamos de H1 . Como os elétrons são indistinguíveis, e como Ψ é antissimétrica, as contribuições de todos os h(1) são iguais; assim: ∫ ∫ ∑ Ψ = Ψ Ψ         H = Ψ h i dτ N h i dτ N i ( ) 2 ( ) * 2 * 1 [14] Substituindo Ψ em [14]: { } { } N N P N P P P h P N N d d d d P N N N H 1 2 3 2 * 1 1 2 * * 2 * 1 * 1 ' ' 1 (1) ' (1) (1) (2) (2) (3) (3)... (2 ) (2 ) ... (1) (1) (2) (2) (3) (3)... (2 ) (2 ) ˆ ( 1) ... (2 1)! 1 α β α β τ τ τ τ α β α β Ψ Ψ Ψ Ψ − Ψ Ψ Ψ Ψ − = ∑∑ ∫ ∫ + [ 15] a expressão [15] é uma soma de 2 (2N!)(2N!−1) integrais múltiplas. É preciso analisar separadamente dois casos: ' ˆ ˆ (1)P ≠ P Suponhamos por exemplo que Pˆ é a identidade, e 12 ˆ ' Pˆ = P , ou seja que ' Pˆ permuta os elétrons 1 e 2. A integral múltipla correspondente é: N N N N N N h d d N N N N d N N h N N d d d 2 * 1 2 * 1 1 1 * 1 1 1 1 2 2 * * 1 * 1 (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) ... (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) ... (1) (1) (2) (2)... (2 ) (2 ) (1) (2) (2) (1) (1)... (2 ) (2 ) ... α β τ β α τ β β τ α β β α β β τ τ τ = Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ [16] O operador h(1) só depende das coordenadas espaciais do elétron 1, e não das suas coordenadas de spin; assim, a primeira integral do membro da direita da equação [16] pode ser fatorizada ainda em: 1 * 1 1 * 1 (1)h(1) (1)dv α (1)β (1)dξ ∫ Ψ Ψ ∫ e, como as funções de spin são ortogonais, a segunda integral é zero. O mesmo acontece com a integral sobre elétron 2. quanto às outras 2N-2 integrais, são todas de normalização, ou seja que são iguais a 1. Um caso levemente diferente ocorre se permutamos os elétrons 1 e 3 por exemplo. Temos: N N N N N N d N N N N d h d d d dv N N d d d d N N h 2 * 3 1 3 * 1 2 2 * 1 1 2 1 * 1 1 1 2 1 2 3 2 * * 2 * 1 * 1 (3) (3) ... (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (2) (2) (1) (1)... (2 ) (2 ) ... ... (1) (1) (2) (2) (3) (3)... (2 ) (2 ) (1) α α β β τ τ α α β β τ α β α β τ τ τ τ α β α β ξ ξ Ψ Ψ = Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Observamos que mesmo se as integrais de spin não são zero, mas a integral ∫ Ψ Ψ1 3 * 2 (3) (3)dv se anula pois Ψ1 e Ψ2 são ortogonais. Assim, se ' Pˆ ≠ Pˆ , todas as integrais sobre o operador h(1) (ou, em geral, sobre qualquer operador de um elétron) são iguais a zero. ' ˆ ˆ (2)P = P Obtém-se 2N! integrais com Pˆ e ' Pˆ iguais; para todas elas, o fator ' ( 1)P+P − é ( 1) 1 2 − = + P e diferença reside no spin-orbital associado ao elétron 1. são (2N-1)! Termos para os quais 1 está associado a um certo spin-orbital Ψiα ou Ψi β : ∫ ∫ ∫ ∫ = Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 1 * 2 * 1 * (1) (1) (1) { (1) (1) { (1) ... (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) h dv h d N N N N d i i i i τ N β N β τ N α β α β pois é possível fazer (2N-1)! Permutações dos 2N-1 elétrons, deixando o elétron 1 associado ao spin orbital α β { Ψi . − ∑ ∫ Ψ Ψ − = 1 * 1 (2 1)! 2 (1) (1) (1) (2 1)! 1 N h dv N H i i N i ii N i H = 2∑ h 1 [17] o fator 2 aparece devido a que o mesmo orbital Ψi está associado às duas funções de spin α e β . 5.4 O Valor médio de H2 O valor médio de H2 pode ser calculado de maneira análoga. Neste caso, para a função Ψ antissimétrica, a dupla soma: ∑∑ < N i j ij r 2 1 pode ser substituída por 12 1 2 2 (2 1) r N N ⋅ − e { } { } N N N P P P P P N N d d d r P N N N H 1 1 2 2 12 * * 1 ' ' 2 ' (1) (1)... (2 ) (2 ) ... ˆ 1 (1) (1)... (2 ) (2 ) ˆ ( 1) ... 2(2 2)! 1 α β τ τ τ α β Ψ Ψ − Ψ Ψ − = ∑∑ ∫ ∫ + [18] Consideremos separadamente os três casos seguintes ' ˆ ˆ ', Pˆ = Pˆ P ≠ P em mais de dois elétrons, e ' Pˆ ≠ Pˆ em dois elétrons somente. ' ˆ ˆ (1)P = P Quando ' Pˆ = Pˆ , podemos fazer (2N-2)! Permutações nas quais os elétrons 1 e 2 estão associados aos mesmos spin-orbitais α β { Ψi e α β { Ψ j . Se os dois orbitais Ψi e Ψ j são diferentes (i ≠ j) , estes podem estar associados a quatro possíveis combinações das funções de spin: α(1)α(2) ; β (1)β (2) ; α(1)β(2) ; β (1)α(2) , e para cada integral 1 2 12 * * ij (1) (2) 1 (1) (2) dτ dτ r Ψi Ψ j Ψi Ψj ≡ ∫ J [19] Há 4 (2N-2)! Termos. O integral Jij é chamada de integral de Coulomb. Portanto, se i=j, ou seja, se as funções espaciais do dois elétrons são as mesmas, as funções de spin devem ser diferentes, sendo que as duas possibilidades são: α(1)β (2) ; β (1)α(2) . 1 2 12 * * ii (1) (2) 1 (1) (2) dτ dτ r Ψi Ψi Ψi Ψi ≡ ∫ J [20] (2) ' Pˆ ≠ Pˆ em mais de dois elétrons Se Pˆ difere de ' Pˆ em mais de dois elétrons, é fácil demonstrar que as integrais valem zero. (3) ' Pˆ ≠ Pˆ em dois elétrons Se Pˆ difere de ' Pˆ em só dois elétrons, porém as funções têm apenas dois spin-orbitais invertidos (ou seja duas fileiras no determinante de Slater de uma das ψ). Novamente é preciso considerar vários casos: (i) se ambos spin-orbitais tem a mesma parte espacial, Ψi = Ψj , a integral é do tipo ∫ Ψ Ψ Ψ Ψ 1 2 12 * * (1) (1) (2) (1) 1 (1)α(1) (2)β (2) β α dτ dτ r i i i i que é igual a zero porque as funções de spin são ortogonais. (ii) se as partes espaciais são diferentes, e os spin também, ∫ Ψ Ψ Ψ Ψ 1 2 12 * * (1) (1) (2) (2) 1 (1)α(1) (2)β (2) β α dτ dτ r i j j i a qual também é igual a zero por causa da ortogonalidade das funções de spin. (iii) se as partes espaciais são diferentes mas as de spin são iguais, a integral é, por exemplo ∫ Ψ Ψ Ψ Ψ 1 2 12 * * (1) (1) (2) (2) 1 (1)α(1) (2)α(2) α α dτ dτ r i j j i [21] que se reduz a ≡ ∫ Ψ Ψ Ψ Ψ 1 2 12 * * (1) (2) 1 (1) (2)α(2) dτ dτ r Kij i j j i [22] a integral Kij se denomina integral de troca (exchange). Se aos orbitais Ψi e Ψ j da equação [22] se associam funções de spin β, o resultado será o mesmo. Ainda para cada para de orbitais ( , ) Ψi Ψ j há 2(2N-2)! permutações dos outros spin-orbitais. Assim, a contribuição de cada par ) ( , Ψi Ψ j à energia total devido às integrais de troca é de N Kij 2(2 − 2)! . Finalmente, voltando à equação [18] temos: ∑ ∑∑ ≠ = + − N i N i N j i H ii ij ij (2 ) 2 J J K [23] Os Kij aparecem negativos porque correspondem à uma permutação ímpar. 5.5 Cálculo da Energia Média Juntando os dois valores médios [17] e [23] temos: ∑ ∑ ∑∑ ≠ = + − N i N i N j i ii ij ij N i ii E 2 h J (2J K ) [24] esta expressão pode ser simplificada observando que = = ∫ Ψ Ψ Ψ Ψ 1 2 12 * * (1) (2) 1 (1) (2) dτ dτ r ii Kii i i i i J de modo que = ∑ + ∑∑ − N i N j ij ij N i ii E 2 h (2J K ) [25] Cada termo da primeira somatória na equação [25], 2hii, corresponde à integração entre um elétron no orbital Ψi e o núcleo; o fator 2 é devido a que dois elétrons ocupam cada orbital Ψi . Os termos ∑ − N j ij ij (2J K ) representam a repulsão entre um elétron no orbital Ψi e os outros elétrons. É interessante definir um conjunto de energias orbitais Ei para um elétron ocupando o orbital Ψi = + ∑ − N j i ii ij ij E h (2J K ) [26] Se fizermos a soma destas orbitais sobre todos os elétrons do sistema, teremos: ∑ = ∑ + ∑∑ − N i N j ij ij N i ii N i i 2 E 2 h 2 (2J K ) [27] comparando esta expressão co a da energia total da equação [25], observamos que = ∑ + ∑∑ − N i N j ij ij N i E Ei 2 (2J K ) [28] o qual é facilmente justificado já que na energia total, a repulsão entre cada par de elétrons em Ψi e Ψ j deve ser contada só uma vez. 5.6 As Equações de Hatree-Fock. Na seção anterior vimos que, dada uma função de onda aproximada, escrita como um determinante de Slater em termos de um conjunto de funções de um elétron { } Ψi , a expressão geral para a energia do sistema é: = ∑ + ∑∑ − N i N j ij ij N i ii E 2 h 2 (2J K ) podemos aplicar o método variacional para achar as melhores funções de base Ψi , isto é, aquelas tais que se formamos Ψ como um único determinante de Slater na base das Ψi , a energia é mínima: δE = 0 A variação do conjunto { } Ψi porém está sujeita à restrição de que continue sendo um conjunto ortonormal      = ≠ = se i j se i j Sij 1 0 ou seja, que: = 0 ij δS O método que permite variar E mantendo a ortonormalidade da base é um método matemático bem conhecido, o dos multiplicadores de Lagrande. Formamos uma função G: = − ∑∑ i j ij ij G E λ S onde os λij são os multiplicadores de Lagrange, por enquanto, parâmetros indeterminados, e procuramos o mínimo na função G: = − ∑∑ = i j ij ij δG δE λ δS 0 Substituindo E por seu valor (equação [25]) ∑ ∑∑ + − − ∑∑ = i j ij ij i N i N j ii ij ij 2 δh (2δJ δK ) λ δS 0 [29] Os termos da primeira soma na equação anterior: = ∫ Ψ Ψ = ∫ Ψ Ψ + ∫ Ψ Ψ 1 * 1 * 1 * δh δ (1)h(1) (1)dτ (δ (1)h(1) (1)dτ (1)h(1)(δ (1))dτ ii i i i i i i podem ser reescritos como: h h d complexo conjugado ii = Ψi Ψi + ∫ 1 * δ (δ (1) (1) (1) τ Analogamente: (1) (2) . . 1 (1) (2) (1)( (2)) 1 (1)) (2) i 1 2 12 * 1 2 i i 12 * i d d c c r d d r ij j j j j = Ψ Ψ Ψ Ψ + Ψ Ψ Ψ Ψ + ∫ ∫ δ δ τ τ δ τ τ * * J ( ou utilizando o operador integral de Coulomb: ≡ ∫ Ψ Ψ 2 12 * (2) 1 (1) (2) ˆ dτ r j j j J [30] (1) . . ˆ (1) ( (1)) ˆ (1)) i 1 * i j i 1 d d c c ij j j = Ψ Ψ + Ψ Ψ + ∫ ∫ δJ (δ J τ δ J τ * Para as integrais de troca (1) (1) . . ˆ (1) (1) (1)) ˆ (1)) i 1 j 1 d d c c ij = Ψ j Ψi + Ψ i Ψ j + ∫ ∫ δK (δ K τ (δ K τ * * e definimos o operador integral de troca, ) (1 ˆ K j , como um operador que tem a seguinte propriedade: (2) (1) 1 (1) (1) (2) ˆ 2 12 * j i j i j d r Ψ       K Ψ = ∫ Ψ Ψ τ [31] Finalmente, a variação das integrais de recobrimento é dada por ∫ = ( Ψ (1))Ψ (1) + . . 1 * S d c c ij i j δ δ τ Juntando todos os termos e pondo em evidência as diferenciais: (1) (1) (1) . . 0 ˆ (1) ˆ ( (1) 2 (1) (1) 2 (2 1 * + =         ∑∫ Ψ h Ψ + ∑ − Ψ − ∑ Ψ d c c i N j j i ij i N j i i j δ J K λ τ O fator 2 que aparece na frente da primeira soma sobre j é devido à que tanto Jij como Jji contribuem com um termo idêntico,e analogamente Kij e Kji. Como as variações das funções e dos seus complexos conjugados são independentes, cada termo da soma em i deve ser identicamente igual a zero. Assim: (1)) (1) (1) 0 ˆ (1) ˆ 2 (1) 2 (2 Ψ − Ψ =         + ∑ − ∑ j N j j i ij N j j h J K λ , i=1,2,...N substituindo, por conveniência, ij Eij λ ≡ 2 e dividindo tudo por dois, temos: (1)) (1) (1) 0 ˆ (1) ˆ (1) (2 Ψ = Ψ =         + ∑ − ∑ j N j j i ij N j h J j K E , i=1,2,...N [32] A Expressão contida entre os colchetes se denomina operador de Fock, Fˆ : (1)) ˆ (1) ˆ (1) (2 ˆ j N j j F = h + ∑ J − K [33] temos então um conjunto de equações diferenciais de um elétron: (1) (1) ˆ i N j FΨi = ∑EijΨ , i=1,2,...N [34] Vemos imediatamente que se todos os Eij com i ≠ j fossem iguais a zero, a equação [34] seria uma equação de autovalores (devemos diagonalizar Eij para adquirirmos Eii ). Isto pode ser conseguido mudando-se o conjunto de base {Ψi }. Com efeito, os orbitais Ψi não são únicos. Qualquer combinação linear, Ψ = ∑ Ψ j i Tij i ' também é autofunção do operador Fˆ , se os coeficientes Tij (transformação unitária) são tais que: ij k ∑TikTkj = δ * [35] uma transformação que obedece o requisito [35] é uma transformação unitária. Em forma diferencial é =1 + T T [36] onde + T é a matriz adjunta de T, ou seja, a matriz transposta conjugada. A equação [34] pode ser escrita em forma matricial: FˆΨ = EΨ [37] Multipliquemos ambos membros desta equação por T pela esquerda, e insiramos a matriz 1, ou, o que é equivalente, o produto T T+ : Ψ = Ψ + + TFˆT T TET T Agrupando os fatores, temos: Ψ = Ψ + + (TFˆT )T (TET )T ou ' ' ' ' Fˆ Ψ = E Ψ que é análoga à equação [37]. Em particular podemos escolher uma matriz T tal que E’seja diagonal. Neste caso, teremos uma série de equações de autovalores. ' ' ' ' ˆ F Ψi = Eii Ψi i=1,2,...N [38] para o operador ' Fˆ . É possível demonstrar que o operador ' Fˆ na base { }i Ψ' é exatamente análogo ao operador Fˆ na base { } Ψi de modo que as equações [38] representam o mesmo problema que as equações [34]. As equações [38] são as equações de Hartree-Fock, e os orbitais { }i Ψ' são os orbitais canônicos de Hartree-Fock. Podemos escrever a equação [38] diretamente F Ψi = EiΨi ' ˆ i=1,2,...N com ) ˆ ˆ (1) (2 ˆ j j j F = h + ∑ J − K Notamos o Valor Ei: i i i Fii E = Ψ Ψ d = ∫ F τ ˆ ) ˆ ˆ ) (2 ˆ ˆ (1) (2 ij j j i ii ij j i h J j K Ψ d = h + J − K         = ∫ Ψ + ∑ − τ ∑ é exatamente igual a energia total Ei definida pela equação [26]. Estas são chamadas de potencial de Koopmans ou potenciais verticais. A resolução das equações de Hartree-Fock se faz da maneira seguinte. Como o operador de Fock, Fˆ , contém os operadores integrais j J ˆ e K j ˆ definidos em termos de um conjunto de orbitais de base { } Ψi , inicia-se o processo postulando uma forma para o conjunto { } Ψi : por exemplo, os (0) Ψi podem ser autofunções do operador (1) ˆ h (0) (0) (0) (1) (1) ˆ i i i h Ψ = E Ψ com essas funções calcula-se o operador de Fock e resolvem-se as equações de HartreeFock. As soluções { } (1) Ψi formam um novo conjunto de base no qual pode se definir novamente o operador de Fock. O processo continua até que os orbitais permaneçam invariantes sob novas iterações, dentro da margem de precisão requerida. Se os (1) (0) Ψi estão bem escolhidos geralmente o processo converge. É interessante discutir o significado físico do operador de Fock: ele representa um Hamiltoniano efetivo de um elétron tal que a energia potencial do campo no qual o elétron se encontra é constituída das seguintes partes: (1) A energia de interação com os núcleos (2) A energia de repulsão com todos os elétrons de spin oposto ao do elétron considerado.∑ j j J ˆ (3) A energia de interação com todos os elétrons de igual spin ao do elétron considerado: ∑( − ) j j K j J ˆ ˆ que é a interação (2) devido a que, para uma função antissimétrica, dois elétrons com o mesmo spin não podem ocupar o mesmo orbital e conseqüentemente nunca estão muito perto um do outro; assim a sua energia de repulsão é menor 5.7 Referência: (1) Slater, J. C. Phys. Rev. (1953) (2) Roothaan, C. C. J. Rev. Mod. Phys. 32, 239, 245. (1960) (3) Teixeira, J. J. C. D., Química Quântica: Fundamentos e Métodos, Fundação Calouste Gulbenkian, 1982 (4) Gil, V. M. S., Orbitais em Átomos e Moléculas, Fundação Calouste Gulbenkian, 1996 (5) Bunge, A. Introdução a Química Quântica, Edgar Blücher (6) Levine, I. N. Quantum Chemistry, Prentice Hall, 1991 (7) Peixoto, E. M. A. Teoria Quântica, São Paulo, 1988 (8) Christoffersen, R. E. Basic Principles and Techniques of Molecular Quantum Mechanics, Springer-Verlag, 1989 (9) Bazley, N. W. Phys. Rev., 124, 483 (1961) (10) Hameka, H. F. Advanced Quantum Chemistry, Addison-Wesley, 1965 Capítulo 6: Método de Hartree-Fock-Roothaan. 6.1 Introdução Para sistemas com muitos elétrons a resolução das equações de Hatree-Fock pode ser feita de maneira aproximada pelo método de Hatree-Fock-Roothaan no qual os orbitais de Hartree-Fock { } Ψi , são aproximados como combinações lineares de funções de base {χ µ}: Ψ = ∑ µ µ χ µ (i) i c [1] para moléculas, os Ψi são orbitais moleculares e os χ µ são orbitais atômicos. O método variacional é aplicado aos parâmetros lineares (i) cµ . Calculemos primeiro as integrais hii , ij J e Kij da expressão abaixo, em termos das funções {χ µ} ∑ = ∑ + ∑∑ − N i N j ij ij N i ii N i i 2 E 2 h 2 (2J K ) [2] sendo assim obtemos, = ∫ Ψ Ψ = ∑∑ ∫ = ∑ µν µ ν µν µ ν µ ν µ ν h h dτ c c χ h χ dτ c c h i i i i ii i i ( )* ( ) 1 ( )* ( ) * 1 * (1) ˆ (1) (1) ˆ (1) [3] ∑ ∫ ∑∑∑∑ ∫ = = Ψ Ψ Ψ Ψ = = µ λσ µ λ σ µν λσ µ λ σ µ λ σ µλ σ χ χ χ χ τ τ v j i j v i v j j j v i ij i j i j c c c c v d d r c c c c r ( | ) (1) (2) 1 (1) (2) (1) (2) 1 (1) (2) ( )* ( )* ( ) ( ) 1 2 12 ( )* ( )* ( )* ( ) * * 12 * * J [4] onde o símbolo (µλ|νσ) se refere à integral sobre 12 1 r tal que as funções da esquerda estão associadas ao elétron 1 e as da direita, ao elétron 2. Analogamente: = ∑ µ λσ µ λ σ µσ λ v j j i v i ij K c c c c ( | v ) ( )* ( )* ( ) ( ) [5] Substituindo na equação abaixo ∑ = ∑ + ∑∑ − N i N j ij ij N i ii N i i 2 E 2 h 2 (2J K ) temos: = ∑∑ + ∑∑ ∑ [ ] − N i N j v j i j v i N i v v i v i E c c h c c c c v v µ λσ µ λ σ µ 2 µ µ 2(µλ | σ ) (µσ | λ) ( )* ( ) ( )* ( )* ( ) ( ) [6] onde é conveniente definir: ≡ ∑ N i i v i v P c c ( )* ( ) 2 µ µ Substituindo na expressão de E: ∑ ∑       = + − µ λσ µλ σ µ µ µ µλ σ µσ λ v v v v v E P h P P v ( | v ) 2 1 ( | ) 2 1 procurando agora os melhores valores das constantes (i) cµ , variando a energia com respeito a essas constantes. O procedimento e inteiramente análogo ao da secção anterior, e o resultado e, ∑ +∑ [ ] − = ∑ ∑ v j N j ij N j j i j v v v i vc h c c c v v c S µ λ σ ν µν 2(µλ | σ ) (µσ | λ) ε ( ) ( )* ( ) ( ) onde ,... µ = 1,2 fazendo uma transforma~c”ao unitária da base para diagonalizar a matriz ε, e definido ≡ + ∑ [ ] − νσ Fµ hµ Pνσ 2(µλ | vσ ) (µσ | vλ) v v obtemos ( ) 0 ( ) ∑ − = i v i v F S cν ν µ µ ε [7] que são as equações de Roothaan. Em notação matricial, torna-se FC = SCε [8] A grande vantagem pratica destas equações e que elas são simplesmente equações algébricas e não mais diferencias. Capítulo 7: Teoria da Perturbação. 7.1 Introdução Agora nós iremos discutir um outro método de aproximação em Química Quântica, a teoria da Perturbação ou Teoria da Perturbação de Rayleigh-Schrödinger. Consideramos um sistema o qual a equação de Schrödinger é H Ψi = Ei Ψi [1] e para um estado estacionário (0) (0) (0) (0) i i i H Ψ = E Ψ [2] onde (0) H é Hamiltoniano de um sistema não perturbado, ou seja um sistema na ausência de radiação eletromagnética ou correlação interna. Quando há presença de uma perturbação o Hamiltoniano que descreve a perturbação é representado por H’. O Hamiltoniano Perturbado H e um não perturbado H(0) é (0) H'≡ H − H [3] ' (0) H = H + H [4] onde ' (0) H > H . Quando dizemos que ' (0) H > H , queremos dizer que ' (0) H > H , isto é, estamos comparando os valores esperados dos dois operadores (0) H e H'. O objetivo é relacionar as autofunções e autovalores do sistema perturbado às autofunções e autovalores conhecidos do sistema não perturbado. Para isto, imaginamos que a perturbação é aplicada de maneira a variar continuamente o sistema do estado não perturbado ao estado perturbado. Matematicamente, isto corresponde à introdução de um parâmetro λ no Hamiltoniano, modo que ' (0) H = H + λH [5] com λ variando entre 0 e 1. Quando λ =0, o sistema é não perturbado e quando λ =1 o sistema é perturbado. Assim temos: H + H Ψi = EiΨi ( ') (0) λ [6] desde que o Hamiltoniano depende do parâmetro λ , tanto a autofunção Ψi , como o autovalor Ei , devem depender também de λ e podemos expandi-lo em séries de Taylor de potencias de λ . (0) (1) 2 (2) ( ) ... k i k Ψi = Ψi + λΨi + λ Ψi + + λ Ψ [7] (0) (1) 2 (2) ( ) ... k i k i i i i E = E + λE + λ E + + λ E [8] Onde k é a ordem da função e energia. Substituindo [7] e [8] em [6], temos: ( ... )( ... ) ( ')( ... ) (0) (1) 2 (2) ( ) (0) (1) 2 (2) ( ) (0) (0) (1) 2 (2) ( ) k i k i i i k i k i i i k i k i i i E E E E H H + + + + Ψ + Ψ + Ψ + + Ψ + Ψ + Ψ + Ψ + + Ψ = λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ [9] ( ) ( ... ( ' ) ( ' )... (0) (0) (1) (0) (0) (1) 2 (2) (0) (1) (1) (0) (2) (0) (0) (0) (0) (1) 2 (0) (2) (1) Ψ + Ψ + Ψ + Ψ + Ψ + Ψ + Ψ + Ψ + Ψ + Ψ + Ψ = i i i i i i i i i i i i i i i i i E E E E E E H H H H H λ λ λ λ [10] Igualando as famílias de mesma potência (0) (0) (0) (0) i i i H Ψ = E Ψ [11] ( ' ) ( ) (0) (0) (1) (1) (0) (0) (1) i i i i i i λ H Ψ + H Ψ = λ E Ψ + E Ψ ' 0 (0) (0) (1) (1) (0) (0) (1) Ψ + Ψ = Ψ + Ψ = i i i i i i H H E E [12] 2 (0) (2) (1) 2 (2) (0) (1) (1) (0) (2) ( ' ) ( i i i i i i i i λ H Ψ + H Ψ = λ E Ψ + E Ψ + E Ψ ' 0 (0) (2) (1) (2) (0) (1) (1) (0) (2) Ψ + Ψ = Ψ + Ψ + Ψ = i i i i i i i i H H E E E [13] Agora devemos agrupar as expressões [11], [12] e [13] ( ) (( ' ) ( ) ) (...) ... 0 (0) (0) (0) (0) (1) (0) (0) (0) (1) 2 Ψ − Ψ + λ − Ψ + − Ψ + λ + = i i i i i i i H E H E H E [15] se Ψi e Ei são funções contínuas de λ , para que a equação [15] seja verdadeira para qualquer valor de λ , os coeficientes de cada potência de λ devem ser iguais a zero. As equações [11] e [12] são equações de ordem zero e ordem um respectivamente. E como as soluções de ordem zero são conhecidas elas podem ser utilizadas se obter as equações de ordem um. 7.2 Correção de ordem um para a energia Para obter a energia reescrevemos a equação [12] (0) (0) (0) (1) (1) (0) ' ( ) i i i i i H Ψ + H − E Ψ = E Ψ multiplicando por (0)* Ψi ambos os termos e integrando (0)* (0) (0)* (0) (0) (1) (0)* (1) (0) ' ( ) i i i i i i i i Ψ H Ψ + Ψ H − E Ψ = Ψ E Ψ (0) (0) (0) (1) (0) (0) (1) ' i i i i i i Ψ H − E Ψ + Ψ H Ψ = E O primeiro termo é zero porque H é um operador Hermitiano. Então, a correção de ordem um para a energia do nível i é: i i i H ii E H d ' (1) (0)* (1) (0) = Ψ Ψ ≡ ∫ τ [16] ou Ei i H i H ii ' (1) (0) (1) (0) = Ψ Ψ ≡ . , (0) 1) ( 1) 1 ( ) (2) (0) (1) (1) (0) (2) (0) − = = Ψ Ψ = Ψ Ψ + Ψ Ψ ∑ m i m i n m n i i i i i i E H E H H # [17] 7.3 Correção de ordem um para a função de onda Para obtermos a correção de ordem um para uma função de onda, expandimos (1) Ψi em um conjunto ortonormal completo de funções de ordem zero, { } (0) Ψj : Ψ = ∑ Ψ j i ji j a (1) (0) , onde (0) (1) j j i a = Ψ Ψ [18] Substituindo [18] em [16] temos: (0) (0) (0) (0) (1) (0) ( ) ( ') i j i i j ∑a ji H Ψj − E Ψ = E − H Ψ ou (0) (0) (0) (1) (0) ( ) ( ') i j i i j ∑a ji E j − E Ψ = E − H Ψ [19] multiplicando a equação [19] por (0)* Ψk e integrando, temos: (0) (0) (0) (0) (1) (0) (0) (0) (0) ( ) ' i k j i k i k i j ∑a ji E j − E Ψ Ψ = E Ψ Ψ − Ψ H Ψ [20] Efetuando a somatória, somente os termos com k = j permanecem, devido à ortonormalidade: (0) (0) (1) (0) (0) (0) (0) ( ) ' ki Ek Ei Ei k i k H i a − = Ψ Ψ − Ψ Ψ [21] temos agora dois casos a considerar: para k=i, obtém-se a equação [16]. (1) (0) (0) 0 (0) (0) ( ) ' a ki E k −  E i = Ei − Ψk H Ψi (1) (0) (0) (0) (0) ' ' Ei = Ψk H Ψi = Ψi H Ψi [16] Para k ≠ i , o primeiro termo à direita da igualdade è zero e a equação [21] torna-se: (0) (0) (0) (0) ( ) ' ki Ek Ei k H i a − = − Ψ Ψ arranjando (0) (0) (0) (0) ' i k k i ki E E H a − Ψ Ψ = [22] a equação [22] determina todos os coeficientes ki a , exceto ii a , o coeficiente de (0) Ψi . Aplicando a condição de ortonormalização, se determina aii = 0 . Os resultados finais para Ei e Ψi corretos até a primeira ordem são os seguintes: Ei Ei H ii ' (1) (0) = + λ [23] ∑ ≠ Ψ − Ψ Ψ Ψ = Ψ + k i i i k k i i i E E H (0) (0) (0) (0) (0) (1) (0) ' λ [24] 7.4 Tratamento de um sistema de spins pela Teoria da Perturbação Quando estudamos um ensemble de spins através de perturbações, realizamos um deslocamento de equilíbrio do sistema de spins e podemos fazer transições entre níveis de energias que ocasionam mudanças na magnetização na magnetização líquida. Esta por sua vez nos dá o sianl de RMN. Considerando um sistema de dois níveis representados por a e b , com energias Ea e Eb, sujeito a uma perturbação V(t)=Vf(t), onde V é um operador independente do tempo e f(t) é um fator numérico flutuante. O operador V, tem com efeito a modulação nos níveis de energia Ea e Eb, o qual induz transições entre os níveis. a ab Ea V E = V f (t) b ba Eb V E = V f (t) Temos para esse sistema o Hamiltoniano H E V ft V ft E a ab ba b =       ( ) ( ) e a função de onda que é solução da equação de Schrödinger: Ψ= −      + −      ct i  E t a ct i E t b a a b b ( ) exp ( ) exp = = Resolvendo o sistema abaixo: i t ct i E t ct i E t E V ft V ft E ct i E t ct i E t a a b b a ab ba b a a b b = = = = = ∂ ∂ ( ) exp ( ) exp ( ) ( ) ( ) exp ( ) exp −       −                   =       −       −                   temos: i t c t Vc tft i E Et i t c t Vc tft i E Et a ab b a b b ba a b a = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) ( ) ( ) exp ( ) ( ) ( ) ( ) exp ( ) =  −      =  −      Supondo que no instante t=0 o sistema esteja no equilíbrio, ou seja, no seu estado a , em que ca(0)=1 e cb(0)=0. A integração da equação acima fornece o valor da correção em cb num tempo t posterior: dt E E t f t i V c t i dt E E t f t i i V c t t ba b a b t ba b a b ∫ ∫       − = −       − = 0 0 ( ) ( ) ( )exp ( ) ( ) ( )exp = = = = A probabilidade de que ocorra uma transição do estado a para o estado b no tempo t é dada por: Pab c t b ( , ) () = 2 Um caso em que P(a,b) cresce linearmente com o tempo é aquele em que f(t) é uma função periódica do tipo: ft t ( ) cos( ) = 2 ω dt E E t t i V c t i t ba b a b ∫       − = − 0 ( ) ( ) 2 cos( ) exp = = ω escrevendo ( ) ωba Eb Ea = − = , (ou seja, =ωba é a diferença de energia entre os níveis) t ( ) i t dt V c t i t ab ba b ∫ = − 0 ( ) 2 cos(ω ) exp ω = e sendo: cos( ) exp( ) exp( ) ω ω ω t it it = + − 2 ( ) i t i t i t dt V c t i t ba ba b ∫ = − + − 0 ( ) exp( ω ) exp( ω ) exp( ω ) = ( ) i t i t i t dt V c t i t ba ba b ∫ = − + − 0 ( ) exp( ω ) exp( ω ) exp( ω ) = ( )         = − + + − ∫ i t i t dt V c t i t ba ba ba b 0 ( ) exp[ (ω ω ) ] exp[ (ω ω) ] =       − − − + + + − = − ω ω ω ω ω ω ω ω ba ba ba ba ba b V i t i t c t exp[ ( ) ] 1 exp[ ( ) ] 1 ( ) = Para ω próximo de ωba podemos desprezar o primeiro termo da equação acima com relação ao segundo termo.A probabilidade 2 P(a, b) = cb (t) fica então igual a:       − − − − ⋅ − − − = = ω ω ω ω ω ω ω ω ba ba ba ba ba b V i t i t P a b c T exp[ ( ) ] 1 exp[ ( ) ] 1 ( , ) ( ) 2 2 2 = ( )         − − − − − − + = 2 2 2 1 exp[ ( ) ] exp[ ( ) ] 1 ( , ) ω ω ω ω ω ω ba ba ba ba V i t i t P a b = ( ) ( ) ( ) t t t V P a b t V P a b V t P a b V t P a b ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba                     −       − =             −       − =             − − − =         − − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) sen 2 ( , ) 2 1 2 ( ) 2sen ( , ) 2 1 1 cos( ) ( , ) 2 2 cos( ) ( , ) ω ω π ω ω π ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω = = = = P(a,b) ωba ω probabilidade de transição em função da frequencia da perturbação (fig.3) Na figura 2 temos uma simulação da função probabilidade de transição P(a,b) entre dois níveis com energias Ea e Eb. Aproximando essa função por uma função delta de Dirac: δ ( ) ; ; x x x x x x − = = ≠    0 0 0 1 0 t V P a b ba ba ( ) 2 ( , ) 2 2 δ ω ω π = − = A primeira condição a ser satisfeita pela perturbação é que sua atuação forneça ao sistema uma energia =ω=hν, onde ν= (Eb-Ea)/h, ou seja, a energia fornecida ao sistema deve ser igual à diferença de energia entre os níveis. O termo independente do tempo da perturbação deve ser tal que Vba2 ≠0. V aV b ba 2 2 = ≠ 0 7.5 Referência: (1) Bunge, A. Introdução a Química Quântica, Edgar Blücher (2) Levine, I. N. Quantum Chemistry, Prentice Hall, 1991 (3) Peixoto, E. M. A. Teoria Quântica, São Paulo, 1988 (4) Christoffersen, R. E. Basic Principles and Techniques of Molecular Quantum Mechanics, Springer-Verlag, 1989 (5) Bazley, N. W. Phys. Rev., 124, 483 (1961) (6) Teixeira, J. J. C. D., Química Quântica: Fundamentos e Métodos, Fundação Calouste Gulbenkian, 1982 (7) Hanna, M. W. Quantum Mechanics in Chemistry, The Benjamin/Cummings Publisingh 1969 (8) Hameka, H. F. Advanced Quantum Chemistry, Addison-Wesley, 1965

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