O Tabuleiro de Galton e a Curva Normal
Esse é o tabuleiro de Galton.
E toda vez que eu viro ele,
essas bolinhas atravessam o tabuleiro,
mas no caminho batem nesses pinos.
E a ideia que quando todas as bolinhas estiverem descidas,
nós vamos poder contar quantas caíram em cada uma dessas caixinhas aqui embaixo.
Ou, se a gente quiser usar o linguajar matemático,
quando todas as bolinhas estiverem descido,
nós vamos poder ver qual é a distribuição das bolinhas.
E honestamente, essa distribuição parece bem simples.
Nós temos mais bolinhas no centro
e menos bolinhas nas extremidades, o que para algumas pessoas pode parecer óbvio.
E de
fato, pelo menos em parte é.
Mas na outra parte, o tabuleiro de Galton demonstra a ideia
mais poderosa da física.
Pelo menos segundo o físico Richard Feynman.
O tabuleiro de Galton é incrível, mas de uma forma sutil.
Tanto é que a maior parte das explicações para como ele funciona está incompleta.
E quando eu digo incompleta, eu não quero dizer necessariamente que as explicações estão erradas.
Mas sim que essa curva final, que é o resultado da distribuição das bolinhas,
é ainda mais incrível e no final do vídeo você vai entender um pouco mais sobre o universo.
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Ao invés de ter que pensar nesse tabuleiro físico, com bolinhas físicas que batem umas
nas outras seguindo equações complicadas, vamos imaginar o que seria um tabuleiro de Galton ideal.
Nesse tabuleiro, duas coisas vão ser verdade.
Primeiro, quando uma bolinha bater em um pino, ela tem 50% de chances de cair para a esquerda
e 50% de chances de cair para a direita.
E segundo, as bolinhas não batem umas nas outras.
A primeira condição nos ajuda a ignorar os casos extremos em que uma bolinha fica mais
longe do que o esperado, e a segunda condição é equivalente a jogar apenas uma bolinha por vez,
ao invés de deixar todas caírem ao mesmo tempo.
Com esse tabuleiro ideal, a pergunta que nós queremos responder é...
Se nós soltarmos mil bolinhas,
quantas bolinhas vão cair em cada uma dessas caixas?
E aqui eu queria que vocês já prestassem atenção em uma coisa.
O resultado é aleatório, porque cada bolinha tem 50% de chances
de ir pra esquerda ou pra direita depois de colidir com um dos pinos.
Mas ainda assim, nós podemos calcular, em média,
quantas bolinhas nós vamos encontrar em cada caixinha no final.
Ou, em termos técnicos,
nós podemos estudar a distribuição da posição das bolinhas.
Então vamos pensar em um passo de cada vez.
Ou melhor, em um pino de cada vez.
Toda vez que uma bolinha encontrar um pino, ela pode ir pra direita ou pra esquerda.
E isso nos deixa com dois resultados. Ou a bolinha foi pra esquerda, ou ela foi pra direita.
Mas se colocarmos dois pinos no caminho, nós agora vamos ter quatro possibilidades.
Dois desvios pra direita, ou dois desvios pra esquerda
… ou um desvio para a direita, e um para esquerda ou vice-versa.
Na prática, os dois últimos cenários são o mesmo.
A bolinha não sofre nenhum desvio total.
Matematicamente falando, isso quer dizer que, com dois pinos, nós temos 25% de chance
de desviar para a esquerda ou direita e 50% de chance de nenhum desvio acontecer.
E nós podemos seguir essa lógica para quantos pinos nós quisermos.
Com três pinos, existem quatro possibilidades finais. Três desvios
para a esquerda ou para a direita, ou um desvio, para a esquerda ou direita.
E o cenário em que a bolinha só desviou uma vez é três vezes mais provável do que o cenário em
que ela desviou três vezes.
E o padrão continua.
A cada pino adicional, existe uma chance cada vez
mais baixa de cenários extremos.
E uma chance cada vez mais alta de que a bolinha mal seja desviada.
E quem nos diz algo sobre a distribuição final das
bolinhas depois de passarem pelo tabuleiro de Galton?
Na média, as bolinhas continuam no centro do tabuleiro.
E a beleza da matemática é que se nós quisermos ignorar o caso entediante em que as bolinhas
ficam no centro, nós podemos!
Esse tipo de distribuição em que só existem duas possibilidades que se repetem de novo
e de novo e de novo é chamado de distribuição binomial.
E segundo essa distribuição, se nós jogarmos mil bolinhas por seis andares de pinos,
na média, 315 delas não vão sofrer desvio total,
235 vão ser desviadas duas vezes,
94 vão ser desviadas quatro vezes
e 15 bolinhas vão ser desviadas seis vezes.
Só que quando as pessoas apresentam um tabuleiro de Galton,
elas frequentemente querem falar de uma outra distribuição,
que é a chamada distribuição normal,
fonte da famosa curva gaussiana, que surge a partir dessa equação daqui.
Mas espera!
Se você olhar para a maneira como as
bolinhas ficam distribuídas no final do tabuleiro de Galton,
ela lembra muito essa curva.
E isso não é coincidência.
A distribuição normal, inclusive, tem esse nome porque ela é extremamente comum.
Essa curva vive aparecendo nos mais diversos cenários.
Por exemplo, a altura média da população mundial está distribuída em uma curva normal.
Quer saber qual é a distribuição de velocidades das partículas em um gás?
Também é uma distribuição normal.
Como está distribuído o tamanho de qualquer parte de quase qualquer animal no planeta?
Ou é a distribuição normal, ou é uma variação dela?
Distribuição de um tabuleiro de Galton ideal para
um bilhão de bolinhas e mil pinos, aproximadamente distribuição normal.
O ponto é que o motivo de a distribuição normal aparecer tanto não é um acidente.
Ela é uma consequência de uma série de resultados matemáticos que eu vou chamar
coletivamente de Teorema do Limite Central.
O que o Teorema do limite central diz, mais ou menos,
é que se você soma um monte de coisas aleatórias e independentes,
o resultado dessa soma, que também é aleatório, segue uma distribuição normal.
Por exemplo, a altura é resultado de múltiplos fatores genéticos e ambientais.
Dentre eles, quais genes você herdou do seu pai e da sua mãe, e quais genes eles
herdaram dos antepassados deles, ou como você se alimentou durante a sua juventude, ou se
você foi ou não foi exposto a uma diversidade de fatores que afetam o desenvolvimento infantil.
A altura de uma pessoa é o resultado de uma
combinação muito grande de fatores incontroláveis e independentes.
Então, a distribuição de altura da população pode ser aproximada por uma distribuição normal.
No caso do tabuleiro de Galton, o raciocínio é um pouco diferente, mas o resultado é
o mesmo. A distribuição do tabuleiro de Galton, que é uma distribuição binomial,
aproxima muito bem uma distribuição normal.
E a aproximação fica melhor conforme nós aumentamos o número de pinos
no caminho das bolinhas.
Ou seja, uma distribuição binomial com muitas etapas
é aproximadamente uma distribuição normal.
E é por isso que as bolinhas no tabuleiro de Galton
formam aproximadamente uma curva normal.
O problema é que essa afirmação não é verdade pro tabuleiro de Galton físico, da vida real.
Essa afirmação só faz sentido nesse cenário idealizado,
em que os pinos dividem as bolinhas perfeitamente
e uma bolinha nunca afeta a outra.
Na vida real, as bolinhas estão sempre batendo nas outras o tempo todo.
E não, não tem nada de aleatório na trajetória das bolinhas.
O caminho que elas fazem é perfeitamente determinado pelas leis da física, pelo menos
em teoria.
Mas espera aí, eu acabei de dizer que a nossa explicação pra um tabuleiro de Galton ideal
não funciona na vida real.
Mas ainda assim, o resultado que nós nosso tabuleiro de Galton da
vida real nos dá o mesmo resultado do idealizado?
E esse é o verdadeiro poder da distribuição normal.
Tanto o tabuleiro de Galton físico quanto a versão ideal
se aproximam da distribuição normal.
O que muda é o porquê disso.
Vamos com calma.
Ao invés de considerar um monte de bolinhas que podem colidir,
vamos jogar só uma bolinha por vez e repetir o processo várias e várias vezes.
Qual vai ser a distribuição final das bolinhas?
Isso é, se nós jogarmos mil bolinhas, uma por vez,
quantas bolinhas vão sofrer zero desvio,
ou um desvio, ou dois desvios totais?
Vamos pensar o que acontece quando uma bolinha bate em um pino.
Apesar do cenário não ser ideal, o caso mais comum vai ser que
colidir com um pino de fato desvia a bolinha pra esquerda ou pra direita.
Mas outros cenários também são possíveis.
A bolinha pode bater no pino e ser jogada pro canto do tabuleiro de uma vez só.
Ou uma outra infinidade de situações estranhas pouco prováveis.
Isso ainda é quase que o cenário ideal, alguns desvios quando esses eventos raros acontecem.
Só que esses eventos raros também são aleatórios.
O que significa que a distribuição final ainda tem que ser o resultado
de uma série de eventos aleatórios e dependentes.
O que significa que a distribuição final ainda se aproxima de uma distribuição normal.
Então, mesmo no mundo real, um tabuleiro de Galton segue aproximadamente uma distribuição normal.
Então, mesmo no mundo real, um tabuleiro de Galton segue aproximadamente uma distribuição normal.
Ou seja, a probabilidade
de uma bolinha ser desviada uma ou duas ou três vezes é dada
por essa curva daqui. Mas por que que nós estamos falando de
probabilidades?
Se nós tivermos a posição inicial de cada
bolinha, nós podemos determinar precisamente qual caminho cada
uma delas deve percorrer.
Porque de novo, o caminho é determinado pelas leis da física.
Então, o que significa falar de
probabilidades se a física é determinista?
A razão que nós falamos de probabilidade para algo determinístico é extremamente simples.
Esse caminho perfeitamente determinado da bolinha só existe na teoria.
Na prática, a bolinha segue um caminho caótico.
E é muito difícil de prever exatamente como uma bolinha vai cair pelo tabuleiro.
Então o que as probabilidades representam é essa ignorância.
É a nossa incapacidade de descrever o caminho da bolinha perfeitamente.
Ou seja, ao invés de lutar contra equações extremamente complicadas,
nós abraçamos a nossa ignorância.
E aí procuramos entender como que as coisas se comportam na média.
Nós transformamos a incerteza em probabilidades.
E essa ideia é extremamente poderosa.
E eu vou demonstrar isso provando que um tabuleiro de Galton realista
também aproxima uma distribuição normal sem fazer quase nenhuma conta.
Nós já vimos que se nós jogarmos uma bolinha por vez,
o tabuleiro de Galton físico vai se comportar aproximadamente como o tabuleiro de Galton ideal.
Mas o que acontece quando nós jogamos mil bolinhas de uma vez?
Como é que nós podemos descobrir quantas bolinhas nos esperamos encontrar
em cada posição final no meio desse caos todo?
Primeiro de tudo, nós temos que abraçar a nossa ignorância.
Não tem um truque aqui.
Nós vamos apenas ter que tratar de probabilidades.
Nesse cenário tem duas coisas que uma bolinha pode fazer além de cair.
Ou bater em um pino, ou bater em outra bolinha.
E nós já vimos que bater em pino gera um
cenário parecido com o caso ideal, que é uma distribuição binomial que aproxima uma
distribuição normal.
Mas o que acontece quando duas bolinhas colidem?
Quando uma bolinha
bate em outra, a bolinha é desviada para a esquerda ou para a direita.
É basicamente a mesma coisa do que se ela tivesse batido em um pino.
O que isso significa é que bolinhas batendo umas nas outras,
pelo menos de um ponto de vista probabilístico,
é a mesma coisa que bolinhas baterem em pinos.
Então, adicionar bolinhas no tabuleiro de Galton
é tipo adicionar andares de pinos.
E como nós vimos no cenário ideal,
quanto mais pinos no caminho, de uma distribuição normal o tabuleiro chega.
Ou seja, adicionar bolinhas adiciona aleatoriedade,
que tende a aproximar a distribuição final da distribuição normal,
que é a famosa curva gaussiana.
Então, um tabuleiro de Galton ideal aproxima uma distribuição normal
por causa da estatística da distribuição binomial,
em que probabilidades são uma construção matemática.
E um tabuleiro de Galton realista aproxima a distribuição normal por conta de cenários
caóticos que costumam aproximar a distribuição normal.
E nesse caso, as probabilidades representam não uma construção matemática perfeita,
mas sim a nossa ignorância.
E essa é a ideia mais poderosa da física.
Existe uma frase famosa que é supostamente atribuída a Richard Feynman.
E ela diz que o conhecimento mais importante da humanidade é o de que a matéria é composta
de átomos, que são pequenas partículas que nunca param de se mexer.
E o motivo desse conhecimento ser tão importante é justamente porque, partindo dele e da ideia
de transformar incerteza em probabilidades, nós podemos deduzir um número inacreditável
de fatos científicos importantes.
E essa é a base de uma das áreas mais bem sucedidas da física, a física estatística.
Partindo do fato de que toda matéria é feita
de pequenas partículas que seguem as leis da física, sem nunca resolver nenhuma equação
para nenhuma partícula individual, nós podemos reconstruir as leis da termodinâmica,
entender como a matéria se comporta próxima do zero absoluto, incluindo efeitos quânticos,
criar modelos precisos para sólidos cristalinos,
como metais e semicondutores, estudar o comportamento de todo tipo de molécula e
compostos orgânicos dos mais diversos ambientes, modelar como a energia se movimenta dentro de
estrelas, e eu podia continuar o dia todo listando aplicações dessa teoria.
Tem até economistas que usam os princípios da física estatística no mercado financeiro.
É genuinamente incrível o quanto abraçar nossa ignorância e substituir ela por probabilidades
não só torna nossa vida mais fácil, como também nos permite descobrir os mecanismos
por trás de coisas tão complexas no nosso universo.
Parem pra pensar no quão absurda é essa ideia.
Grande parte da física moderna e do nosso entendimento do universo é uma consequência
direta de sabermos que a matéria é feita de átomos, e que nós não precisamos saber
como cada átomo individual se comporta para saber como a matéria se comporta, pelo menos na média.
Muito obrigado e até a próxima!
Fonte: vídeo "Todo mundo explica isso ERRADO" in https://youtu.be/3sZJnZFHtEo | Canal Ciência Todo Dia